Question

めら

わかるかたお願いします！

AV320 NSRME
<最 や
@ 約数の個数が 3   。 個の整数の ぁち100

近い数を求めなさい。
⑥ 。 5 を素数とする。 2 の約数の和だが
き, og6 の値を求めなさい。

12 のと

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

なな

a
約数が3個ということは平方数（9,25など数の二乗）です
二乗して出来た数の中で1番100に近い数を探せばいいです！

b
素数の約数は1かその数しかありません
なので和が12の数の中で2つとも素数の組み合わせを探せばいいと思います！

Answer 2

怪盗オメガ

とりあえずaの問題

約数が3個ということは

1とその数自身、そしてその間にもう一つあるということです。
ただ普通ある約数で割るとその商も約数になってしまいます。
この矛盾を解消するるためにはどうしたら良いでしょうか。

その二つが同じ数であれば良いです。

ヒントになりましたか。

Answer 3

LUX SIT

(a)　約数の個数が3個の整数とはどういう数字なのか考えてみましょう.
まず1とそれ自身は必ず約数になります. 例: 素数5の約数は1と5の2個
次に考えるのは2つの素数p,qの積pqの場合です. 1, p, q, pqでp≠qならば4個, p=qならば3個です.
したがって約数の個数が3個となるような整数は"素数の2乗"で表される数です.
その中で最も100に近いのは7^2=49, 11^2=121ですから121です.
***
(b) (a)の考察から1, a, b, abがabの約数であることが分かります.　和が12ですから
ab+a+b+1=12⇔(a+1)(b+1)=12=2^2*3
a, bは素数[1は含みません!]なのでa≧2, b≧2であることに注意します.
a+1≧3とb+1≧3の考えられる組み合わせは素因数分解を利用して
(a+1,b+1)=(3,4)(4,3)⇔(a,b)=(2,3)(3,2)
したがってab=6です.
***
少し難しい問題[特に(a)]だったと思います.
約数と素数の定義, 素因数分解の利用法などをしっかり復習しましょう.

LUX SIT

定義です. その理由ですが,
1を素数にすると1以外の数はすべて1で割り切れてしまいます.
そうすると素数は1だけになってしまいます[時間があれば, "エラトステネスの篩(ふるい)"で調べてみましょう].
そこで素数は1を除いて定義します.

めら

bのa+1、b+1≧3からが分かりません

LUX SIT

まずa, bは整数です.a,bが素数なら1より大きい整数なので2以上といえます.
したがってa≧2, b≧2. 両辺に1を足すとa+1≧2+1=3, b+2≧2+1=3★
(a+1)(b+1)=12=3*4 [★から各素因数は3以上]
なので(a+1, b+1)=(3,4)(4,3)と決まります.
***
[参考]
1を素数にしない厳密な理由は素因数分解の一意性にあります.
1が素数なら任意の整数の素因数分解は無数に表せることになるので整数論を構築する上で障害になります.
しかしこれは中学レベルでは難しいので参考としておきます.