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(1) 96=2^5×3に素因数分解できるので√(96n)=√(2^5×3×n)だということはわかると思います。ここで、nの平方根というのは、2乗したらnになる数でしたね。2の平方根(のうち正のものである)√2を2乗したら2になりますし、9の平方根3を2乗したら9になります。平方根というものがもともとそういうものであるという定義だからです。
よって、√をはずそうと思えば、√2^2=2のように√の中に2乗(2つの同じ数のセット)があればもとの自然数に戻るから√がとれます。
すなわち、√(2^5×3×n)=√(2^2×2^2×2×3×n)=2×2×√(2×3×n)と考えられます。(√2^2→√の中の2がセットになって自然数2になる)
よってこいつ全体が自然数になるためには残りの2×3についても、セットを作ってやれば自然数になれます。よってnを2×3にしてやれば√の中の2と3も2セットになってくれて自然数になれます。しかし、今回聞かれているのは2番目に小さいやつです。要するにセットがあれば自然数になるのだから2番目に小さい2のセット2^2を2×3につけたものが答えです。(1^2をかけても2×3と結果は変わらないからそのつぎの2)

ブドウくん

(2)平方根とは2乗したら(2回同じ数をかけたら)自然数になるということなので、足し算や引き算よりかはかけ算の方が扱いやすいんです。だから、無理矢理引き算をかけ算にします。足し算引き算からかけ算にすることはすでにやりましたよね。因数分解です。因数分解のもっとも基本である共通因数のくくりだしをしてやれば、√255-6x=√3(85-2x)です。
こうなれば、さっきの問題とさほど変わりません。自然数になるには、3がもう一つ必要ですね。そうしたら3でセットが作れます。そして、さっきの問題と同じ要領で85-2x=3×2^2 , 3×3^2 , 3×4^2...とやっていきます。ただし、85-2xは正で、かつxは整数なので答えは絞られてきます。それに注意すると答えが出てきます。

ポイントとしては
基本的に√の中をかけ算に持っていくこと
√の中に同じ数が2つあれば自然数になる
という2点です。

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