Question

aaaaa

6番の解き方教えてください

年

6. 放②) = 寺@    ー 1)7 の根はすべて実の単根で (1,1) の中にあることを示せ.
ーン

<のつ oo) で連続。(e。 oc) で微分可能。 かっ, f(G) = wma_xe fe) 、
る. このとき, ア/ぐ@) 一 o0, っニニoo をみたすまがが在本することを未、

微積

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

gößt

g(x)=(x²-1)ⁿ とすると、
g(1)=g'(1)=g"(1)=…=g⁽ⁿ⁻¹⁾(1)=0
g(-1)=g'(-1)=g"(-1)=…g⁽ⁿ⁻¹⁾(-1)=0
です

特に g(1)=g(-1) なので、ロルの定理より
g'(c₁,₁)=0
となる c₁,₁∈(-1,1) が存在します

すると、g'(-1)=g'(c₁,₁)=g'(1) なので再びロルの定理より
g"(c₂,₁)=g"(c₂,₂)=0
となる c₂,₁∈(-1,c₁,₁), c₂,₂∈(c₁,₁,1) が存在します

以下これをくり返していくことで最終的に(-1,1)の範囲にfn(x)の根をn個取ることができます
fn(x)はn次多項式なので他に根を持つことはできなくなり、ロルの定理によって得られたn個の根がfn(x)の根すべてだったと結論づけられます

aaaaa

ありがとうございます！

gößt

いえいえ(｀・ω・´)