Question

ゲスト

2の証明を教えていただきたいです。
途中までは授業で習った通り進めてみましたが、それ以降がわかりませんでした。
よろしくお願いいたします。

2. Hm sgx ーが成り立つとする|数列 6) が 任意の#eNについて
防-引 < lx 一紀
を満たすとする。 のとき』 RS
人ね久2 を>0 に書 」(、夕うハム

> 謀

数列の極限

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ねけう

まず、仮定をεNを使って整理します
①lim(n→∞) a_n=a
つまり、∀ε>0,∃N(自然数),∀n(自然数),
n>Nならば|a_n-a|<ε
②|b_n-a|≦|a_n-a|

次に、示すべきことを明らかにします
以下の通りです
③「∀ε>0,∃N(自然数),∀n(自然数),
n>Nならば|b_n-b|<ε」

証明に入ります
証明) 任意の実数ε>0をとってくる。このとき①から
あるN_1が存在して、n>N_1となるnに対して
|a_n-a|<εとできる。今、NをN>N_1となるようにとってくる。すると、n>Nのとき①,②から
|b_n-a|≦|a_n-a|<ε
となる。よって、b_nはaに収束する