✨ ベストアンサー ✨
何についての考察なのでしょう？何か疑問があってそれについて何かしらの説明を書いたものなのでしょうか。そのあたりがはっきりしないので質問の意図があまり伝わらないです
よくある疑問ですが、「①はx=1/2, -3で定義されていないのに②を得たあとx=1/2, -3を代入してよいのか」という問題についてですかね？そうであればこれだと説明になっていないと思います。そうでなければ、書かれていることは基本的に間違っていないです
説明しようとするとどうにも長文になってしまうのですが、まあ必要だと思った範囲で読んでください
画像に書かれていることから、
②はx=1/2, -3以外で常に成り立つ
ことが分かりますね。これは問題ないと思います
ここで重要なのは両辺が整式だということです。今回の場合、実際には２つの実数xで②が成り立ってさえいれば十分となります
少し話を変えます。一般的に、
"n次方程式の解はたかだかn個"
という事実があります。ここではそれを言い換えた
"n次以下の整式が解をn+1個以上もつならばその整式は0"
という命題を見てみます
簡単のため、n=1のときを考えます。一般のnでも考え方は同じです
一次以下の整式f(x)について、f(x)=0が２つの解x=α, βをもつとき、因数定理より
f(x)=(x-α)(x-β)Q(x) (Q(x)は整式)
と表せます
ここで、Q(x)≠0だと右辺が二次以上になってしまうため、Q(x)=0です。よってf(x)=0が従います
これより、n次以下の整式f(x), g(x)について
f(x)=g(x)
がn+1個以上のxで成り立つならば全ての実数で成り立つことがわかります
元の話に戻りますと、②の両辺は一次以下の整式で、x=1/2, -3以外の全ての実数で②が成り立つので、特に２つの実数で成り立ちます。従って、全ての実数で②が成立することが言えるのです
x=1/2,-3が定義されていない恒等式①がある
↓
恒等式の両辺に同じ整式を掛けた②は同じ整式を掛けたからには②も恒等式である
しかし、②でx=1/2,-3が定義されているか否かは分からない
↓
ここで、②の両辺はx=1/2,-3を除く全ての実数で成り立つことは自明であり、さらに②は1次式であり、異なる2つ以上の解を持つので、②はx=1/2,-3でも成立する
ということですか。
x=1/2,-3だろうがなんだろうが、②は恒等式であり、分数関数のように明らかに定義されない数が出てくるような関数でもないから、すべての実数で成り立つということでしょうか。
②は整式なのでx=1/2, -3でも定義されていますね
元々、neutralのはじめの考察の中で私が引っかかっていたのは「①が恒等式だから②も恒等式である」という部分でした
恒等式という言葉をどのように定義するのかにもよりますし、教科書見たら微妙な書き方だったので正確な定義はわかりませんが、私は「定義域内の全ての実数において成り立つ等式」くらいのニュアンスだと思っています
そうなると、①が恒等式(⇔x=1/2, -3以外で成り立つ等式)であっても②が恒等式(⇔全ての実数で成り立つ等式)とは言えないのではないでしょうか。「恒等式」という言葉によってごまかしが生じているような気がします
私の考えをまとめるとこうです
①はx=1/2, -3以外で成り立っている(前提)
↓
①に同じ整式を掛けた②もx=1/2, -3以外で成り立っている
↓
②の両辺は整式なので、x=1/2, -3以外で成り立っていればx=1/2, -3でも成り立っている
うっかり呼び捨てになってしまいました⋯
neutralさん、すみません
返信が遅れてしまい申し訳ありません。
繰り返しになりますが、
①はx=1/2,-3以外で成り立つ
↓
①に同じものを掛けた
②もx=1/2,-3以外で成り立つ
↓
ところで②は整式である、またこの整式は1次式であるから、異なる2つ以上のxで成り立つとき②は恒等式である
↓
②は恒等式であるから、x=1/2,-3も含めた、全ての実数xで成り立つ
という解釈でよろしいでしょうか。
②が綺麗に整式になってくれたために、「n次方程式の解は高々n個」の事実を利用でき、だから②を恒等式と言い切れる、ということでしょうか。
繰り返しになってしまいすみません。
そういうことですね
大変助かりました。
ありがとうございました。
説明不足で申し訳ありません。
回答者様のおっしゃるように、②を得た後にx=1/2,3を代入してもよい理由がわかりません。
そこの明確な答えを示していただけると幸いです。