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【解答例】
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※クーロンの法則の比例定数をkとする。
※ガウスの法則
任意の閉曲面を貫く電気力線の本数Nは、閉曲面内部の電荷をQとするとN=4πkQとなる。
※(電気力線の本数N)=(電場に対して垂直な閉曲面の面積)×(電場の大きさ)
つまり、電場の大きさをEとして、
(電場に対して垂直な閉曲面の面積)×E
=(電気力線の本数N)=4πkQ
...[☆]
電場に対して垂直な閉曲面の面積をSとすると、[☆]式は、
SE=4πkQ
E=4πkQ/S
解き方：電場Eが貫く任意の閉曲面を考えてその面を貫く電気力線の本数を求めてガウスの法則を用いる。
(主に[☆]式を用いる)
[☆]式を見ると、電場に対して垂直な閉曲面の面積と閉曲面内の電荷QがわかればEが求まるとわかります。
(1) 導線が長さl [m]、半径r [m]の円柱の中心を通ると考えると、
円柱の側面に対して電場は垂直に貫く。よって
(電場に対して垂直な閉曲面の面積)=(円柱の側面積)=2πrl となる。またQ=ρl
ガウスの法則より、
2πrl・E=4πkQ=4πk・(ρl) ∴E=2kρ/r (lに依存しないので無限遠でも同様)
(2) 無限に広い電荷が一様分布した平面と平行でr [m]離れた一辺がl [m]の正方形の面を有する角柱を考える。（角柱の真ん中に電荷が一様分布した平面がある）
角柱の上部の面と、下部の面に対して電場は垂直に貫く。よって
(電場に対して垂直な閉曲面の面積)=(角柱の上部の面積)×2=2*l^2 となる。またQ=σl^2
ガウスの法則より、
2*l^2・E=4πkQ=4πk・(σl^2) ∴E=2πkσ (lに依存しないので電荷の分布した平面に平行な面の電場の大きさは一様)
(3) 球殻の中心からr [m]の半径の球を考えると、
球の表面に対して電場は垂直に貫く。よって
(電場に対して垂直な閉曲面の面積)=(球の表面積)=4πr^2 となる。またQ=σ*4πR^2
ガウスの法則より、
4πr^2・E=4πkQ=4πk・(σ*4πR^2) ∴E=kQ/r^2=4πkσR^2/r^2 (中心に電荷Qのある点電荷のつくる電場と等しい)
【別解・(3)】
荷電球殻に分布する電荷がつくる電場は中心に電荷をすべてあつめた際の点電荷のつくる電場に等しいので、E=4πkσR^2/r^2
無限に長い導線の場合は、円柱など。
無限に広い導板の場合は、角柱か円柱など。
荷電球(殻)の場合は、球などを任意の閉曲面として選ぶと電場と閉曲面が垂直になります。
※もちろん任意の閉曲面で成り立つので好きな閉曲面で囲めばよいのですが、その場合は閉曲面に垂直な電場の成分のみを足し合わせる必要があります。（電場に平行な面ならそもそも貫かないので導線や導板に平行な円柱を考えた場合が(1)と(2)）
高校で学ぶガウスの法則は電気力線の本数を着眼点として、それを求めることで考えますが、
一般にガウスの法則は、
(任意の閉曲面に垂直な方向の電場の成分の面積分)=(閉曲面のかこむ空間中に分布した電荷密度の体積積分)/ε (ε：(真空の)誘電率)
という形で書き表します。
ですのでイメージとしては、電場を足し合わせると閉曲面中の電荷の量がわかるので、電荷の量が決まれば電場も決定できる、ということです。（関所を通過する水の量がわかれば、湧き出した水の量もわかる）
ちなみに点電荷がつくる電場の重ね合わせとして電場を求めることもできますが、広義積分となり、計算が難しくなります。
※Yahoo!知恵袋より私の過去の解答例を引用。
引用: https://m.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/q14187015019?__ysp=54mp55CG44Gu6LOq5ZWP44Gn44GZ44CCIDQzNOOBruWVj%2BmhjOOBp%2BOBmeOAgiDop6PoqqzjgpLoqq3jgb%2Fjgb7jgZfjgZ%2FjgYzoia%2FjgY%2Fjgo%2FjgYvjgorjgb7jgZvjgpPjgIIg44KP44GL44KL5pa544CB44Gq44KL44G544GP44KP44GL44KK44KE44GZ44GP5pWZ44GI44Gm44GP44Gg44GV44GE77yBICPnn6XmgbXoootf
回答をありがとうございます。理解したという印としてベストアンサーにさせてもらうので、ベストアンサーがつくのが遅くはなりますかご理解をお願いします。