(1) (速さ)＝(距離)÷(時間) です
この問題では微小時間t'の間に距離b-aだけ波が進んでいるので、
(波の速さv)=(b-a)/t'
また、一回振動したときを考えると
(移動距離)=(波の波長λ)=2a
(移動時間)=(波の周期T)
なので、
v=λ/T
(b-a)/t'=2a/T
T=2at'/(b-a)
(2)位置がb-aだけずれているので、
位相差=(2π/λ)(b-a)=π•(b-a)/a
(3)t=0のとき
y=-Asin{(2π/λ)x}
=-Asin{(π/a)x}
なので、時刻tにおいては
y=-Asin{(π/a)(x-t/v)}
=-Asin[(π/a){x-((b-a)/t')t}]
模範解答のようにマイナスを中に入れてもいいと思います
まず一個訂正があります。(3)の回答の後半に
y=-Asin{(π/a)(x-t/v)}
とありますが、これは
y=-Asin{(π/a)(x-vt)}
の間違いでした。私がふだん波の式を作るときはx=0の式から位置xでの式を出していたので、それとごっちゃになっていました
これから説明書きますね
ある程度公式として覚える必要はありますが、波動の分野は波長やら周期やらの物理量が多いので意味合いなども頭に入れながらの方がいいですね。とりあえず一般論を説明していこうかと思います
まず波の式から説明します
一番基本的な波は正弦波ですから、波の式はざっくり言って
y=Asin◻︎
と書けるはずです。Aは変位yの最大値になるので振幅です
次に◻︎の中身を見ていきます。まずt=0のときのxとyの関係式を考えます。sinの基本周期は2πですが、y-xグラフにおいて波一つ分は波長λなので、x=λのときにちょうど波が元に戻るようにすると
y=Asin{(2π/λ)x}
と書けますね
また、x=0のときy=0ではなく、sinのグラフが少しずれている可能性もあります。グラフのずれをx'で表せば、
y=Asin{(2π/λ)(x-x')}
α=-(2π/λ)x'とおくと
y=Asin{(2π/λ)x+α}⋯①
と書けますね。これでt=0での波の式ができました。αは大抵 0, π/2, π, (3/2)π のどれかをとることが多く、それぞれの場合
α=0 → y=Asin{(2π/λ)x}
α=π/2 → y=Acos{(2π/λ)x}
α=π → y=-Asin{(2π/λ)x}
α=(3/2)π → y=-Acos{(2π/λ)x}
と書けます
次に、時刻tでの波の式を考えます。t秒間で波はvtだけ進むので、位置xで観測された波はt=0のときはxより距離vtだけ手前にあったはずです。したがって、波の式は①にx-vtを代入して
y=Asin{(2π/λ)(x-vt)+α}
v=λ/Tを用いると
y=Asin{2π(x/λ-t/T)+α}
と書けます。これが波の一般式です
ある時刻tのある点xにおける変位yのようすはsinの中身によって決まるので、sinの中身 2π(x/λ-t/T)+α が媒質の状態を決定します。媒質の状態を位相と呼びます。二地点の位相差を考えると、
{2π(x₁/λ-t₁/T)+α}-{2π(x₂/λ-t₂/T)+α}
=2π{(x₁-x₂)/λ-(t₁-t₂)/T}
となります。問題で問われるときは同時刻の方が多いので、t₁=t₂ とすると
(位相差)=2π{(x₁-x₂)/λ-(t₁-t₁)/T}
=(2π/λ)(x₁-x₂)
=(2π/λ)(位置の差)
と書けますね
だらだら書いてたら長くなってしまいました⋯
理想としては以上のことを頭に入れた上で、
・t=0での4種類の式
α=0 → y=Asin{(2π/λ)x}
α=π/2 → y=Acos{(2π/λ)x}
α=π → y=-Asin{(2π/λ)x}
α=(3/2)π → y=-Acos{(2π/λ)x}
・一般の時刻tでは t=0 の式に x-vt を代入する
・(位相差)=(2π/λ)(位置の差)
の3点を覚えておけばいいのかな、と思います
問題によってはx=0でのyとtの式をまず求めて、そのあと一般の位置xでの式を出すこともあります。この場合は
y=Asin{(2π/T)t}
みたいな式をまず求めて、t-x/v を代入すればOKです
最後に問題に触れておくと、(2)は上に書いた通りです。(3)はt=0でのグラフの形が -sin の形なので、
y=-Asin{(2π/λ)x} (α=πのパターン)
時刻tではこれにx-vtを代入して
y=-Asin{(2π/λ)(x-vt)}
として計算しています
ご丁寧にありがとうございます。
(1)は理解出来たのですが、(2)と(3)が不明な点がありますので、教えていただければと思います。
(2)ですが、位相差＝(2π/λ)(b-a)というのは公式ですか？
(3)のt=0の式と時刻tにおいての式がなぜこうなるか分かりません。こちらも公式でしょうか？
教科書を探しても載っていないので…申し訳ないです(＞＜)