Question

114分科戰士🪖

為什麼最小值會發生在P為AB中點M之投影點時？ 求解惑🙏🏻🙏🏻

例1.(能力指標:平面PA+PB最小值)
3t-1
ME=
空間中,已知4(1,2,3),B(5,4,1)及平面E:x+2y+3z=4,
若點P在平面E上,且PA²+PB²有最小值,求P點坐標及此最
小值?
: 1°作4,B在平面E上的投影點A,B,則=80
2
PA² + PB² = PA² + A'A² + PB²² + B'B²
(22
= S + E + C + xNEKA S
2° PA²+PB²的最小值發生在當為AB中點M之投影點時
由M(3,-1,-1)可令P(3+t,1+2t,1+3t)
PEE ..1==> P
,
77
A
3元 2412 2
7
274
3° 故PA+PB == 為最小值
7
M
a B
A
B/E
P

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

qn

承1°
AA'² + BB'² 是固定的
只要想怎麼最小化 PA'² + PB'² 就好了

由柯西不等式
(PA'² + PB'²)( 1² + 1² ) ≥ (PA' + PB')²
(等號成立時 PA' = PB')

同時 PA' + PB' ≥ A'B'
(等號成立時 P 在線段 A'B' 上)

因此
(PA'² + PB'²) × 2 ≥ A'B'²
⇒ PA'² + PB'² ≥ A'B'²/2
等號成立時 P 在線段 A'B' 中點
也是 AB 中點 M 的投影點

114分科戰士🪖

謝謝你🥹 感激ദ്ദി ˃ ᵕ ˂ )