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第一個方程組的解有 (0, 0, 0) 和 (1, 0, -1)
所以是無限多組解
幾何關係可能是交於一直線，或重合（交一平面）
至少可以確認 (t, 0, -t) 都是它的解
(1, -1, 0) 不是解，可以推論 (t, -t, 0) 都不是解
第二個方程組可以改寫成
x + y + z = 0 + 1
ax + by + cz = 0 + 2
px + qy + rz = 0 + 3
如果把解 (x, y, z) 拆成兩個部分
(x, y, z) = (2, 3, -4) + (x', y', z')
可知 (x', y', z') 會滿足第一個方程組
先把各個選項的 (x', y', z') 算出來
(x', y', z') = (x-2, y-3, z+4)
(1) (1, -7, 6)
(2) (-6, -1, 7)
(3) (1, 0, -1)
(4) (-1, 0, 1)
(5) (-1, -3, 4)
因為 (t, 0, -t) 都是解，(t, -t, 0) 都不是解，我們嘗試把他們再拆解成這兩種形式
- 如果只含有 (t, 0, -t)，則它一定是解
- 如果含有 (t, -t, 0)，而且沒有其他不確定的成分，則它一定不是解
(1) (1, -7, 6) = (-6, 0, 6) + (7, -7, 0) 不是解
(2) (-6, -1, 7) = (-7, 0, 7) + (1, -1, 0) 不是解
(3) (1, 0, -1) 是解
(4) (-1, 0, 1) 是解
(5) (-1, -3, 4) = (-4, 0, 4) + (3, -3, 0) 不是解
請問，為什麼「含有 (t, -t, 0)，而且沒有其他不確定的成分，則它一定不是解」 ，有可能是平面重合的無限多組解嗎？
請問，如何理解「可知 (x', y', z') 會滿足第一個方程組」
如果拆出來是 (u, 0, -u) + (t, -t, 0)
代入方程組的左式
(u+t) + (0-t) + (-u+0)
a(u+t) + b(0-t) + c(-u+0)
p(u+t) + q(0-t) + r(-u+0)
把 u 的部分和 t 的部分分開
[u+0+(-u)] + [t+(-t)+0]
[au+b·0+c(-u)] + [at+b(-t)+c·0]
[pu+q·0+c(-u)] + [pt+q(-t)+r·0]
左半邊的中括號內都是0，現在變成
t+(-t)+0
at+b(-t)+c·0
pt+q(-t)+r·0
這是 (t, -t, 0) 代入第一個方程組左式的結果，但它不是解，所以這三式不可能同時為 0
(x, y, z) = (2, 3, -4) + (x', y', z') 代入方程組
用同樣的方法拆成兩部分
2, 3, 4 的部分會把常數項消掉
就變回第一個方程組
可以自己試試看
謝謝你
註：
如果線性方程組的常數項全都是 0
兩組解相加或相減也會是一組解