物理
高校生
解決済み
(3)はどうして赤い字の考え方だとダメなんですか?
Ⅰ 次の文章の空欄にあてはまる数式, 図, または文章を解答群の中から選び, マーク
解答用紙の所定の場所にマークしなさい。(34点)
y
0
10
m
x
図1
水平方向にx軸,鉛直上向きに軸をとる。このxy面内を,大きさが無視できる
[m]
r
小球が運動する。 小球の質量をm[kg] とし,重力加速度の大きさをg[m/s] とする。
ひもの一端が図1の原点0に固定されていて, ひもにつながった小球が,原点0か
一定の距離 [m] を保って円運動をしている。 ひもに太さや重さはなく,空気抵抗
はないものとする。原点からみた小球の位置の方向と鉛直下向きの方向のなす角
を 0 [rad] とする。小球の速さは9によって変化し,(0) [m/s] とおく。特に, 0 = 0
における小球の速さ(0) をCMと書くことにする。小球は0の増加する方向に運動
している。 力学的エネルギー保存の法則を使うと, (1) という関係が成り立つ。
小球には重力と, ひもから受ける張力 T がはたらいている。 それらの合力のうち、
ひもに沿った方向の成分は, 向心力でなければならない。 向心力はm, v(0)に
より与えられるが,その関係式は円運動が等速でなくても成り立つ。この事実を使う
と、張力はT=
(2)
[N] と表される。 ひもがたるまずに円運動を続けるには,
24 2017年度 物理
常にT0 が成り立たなければいけないので, UM が満たすべき条件は
ある。横軸に 0, 縦軸に小球の速さの二乗{v(日)} をとって図示すると
全エ(一般)
回目
で
ようになる。 小球の速度を成分にわけて書くと, (Ux,y)=(v(θ)cos 0,0 (0) sing)
である。
y
06)
O
60
図2
m
小球が円運動をしている最中に,小球に力を加えることなく,瞬間的にひもを原点0
からはずすことができるものとする。 そのあとは,図2に示すように,小球に重力だけ
がはたらいて運動する。 ひもをはずした瞬間をt = 0 とし,このとき小球は0=0[rad]
にあったとする。たとえば6=1の場合,t>0では小球の速度のx成分と加速度
のx成分はともに0のままで,x(t) = r[m]であり,y(t)= (5) [m]と表さ
れる。
これよりあとは、0の場合を考える。>0において小球の位置(x(t),y(f))
は,x(t)= (6)
[m],y(t) = (7) [m] と表される。 小球の高さが最大に
なる時刻を[s] とする。 時刻 t = における小球の位置を (x1,y1) とおく。 この幻
の値を求めよう。時刻では速度の成分が0となるので,左=
(8)
[s] と求
たとえば,b=の場合,x1 = (9)
8の絶対値が1より十分に小さい場合を考える。このとき, x1≒(9) + A8 + B82 と近
められる。この(8)の結果を (6) に代入すると, x1 が 6 によってどう変化するかがわかる。
| [m] となる。次に,=+8として,
似できる。 ここでsin (
π
と近似した上式のδの係数Aは
sin(+8)=2(1+3-0.000(+8)=2(1-0-4)
√2
COS
+8≒
(10)
ある。この事実を使うと,
である。 さらに, δ2の係数 B は負で
(11) ことがわかる。
り
I解答
(1)-(g) (2)-(c) (3)-(d) (4)-(e) (5)-(f) (6)-(c)
(7)-(c) (8)-(e) (9)-(e) (10)-(a) (11)—(b)
<解説>
≪鉛直面内の円運動と斜方投射≫
(1) 重力による位置エネルギーの基準を0とする。 0からの高さは
rcoseであるので, 0=0のとき-である。 力学的エネルギー保存則よ
1
{v
mtv (0)} - mgr cos 0=mvx²-mgr......
2
(2)小球にはたらく力は右図のようになる。円の中心
向きの,円運動の運動方程式より
m{v(日)}2
r
①
48
x
=T-mgcose
m{v(日)}2
..
T=
+ mg cos0 〔N〕vemg
mg
r
(3) ① ② 式より (0)を消去してTを求めると
T-mg = m
= m. n
T
MUM2
T=
-mg (2-3 cos 0)
r
2
+mg
ひもがたるまないためには、円の最高点 (0=)でT >0であればよいので
T= m..
Um
r
mg (2-3 cosл) >0
r
.. VM²>5gr
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