算数
小学生

中学入試の問題です。
(3)まではわかったのですが、(4)の解き方が分かりません。答えは27通りです。
同じ操作を2回繰り返すと操作をする前に戻るので、それを利用して18通りは思い浮かんだのですが残り9通りが分からないです。

4 正六角形の板の表に数字の1~6, 裏に漢数字の一〜六が, 1の裏には一,2の裏 には二, ..., 6の裏には六となるように書かれています。 1,2と5,4の間を通る棒 (A),2,3と5,6の間を通る棒 (B),3,4と1,6の間を通る棒(C)を使ってこ の板を裏返します。 ただし, すべての棒は正六角形の辺の中点を通っています。 (操作A) 棒 (A) を真ん中にして裏返す (操作B) 棒 (B) を真ん中にして裏返す (操作)棒(C) を真ん中にして裏返す 例 表 図 1 5 (A) 2 裏 (A) (B) B/三四 (操作A) (B) (C) 六 五 (注意) 書かれている数字の向きは読みやすい向きで表しています 4-3 (1) 図1に(操作B) を行った後の図に一~六を書き入れなさい。 図 2 (2) 図1に(操作), (操作A) をこの順に行った後の図に1~ 6を書き入れなさい。 (3)2回操作を行ったあと、 図2になるような裏返し方をすべて 答えなさい。 2 ♡ ただし,(操作A), (操作B) をこの順に行ったときはA→ Bのように答えること。 図 3 (4)4回操作を行ったあと、 図2になるような裏返し方は何通り あるか答えなさい。 (5)10回操作を行ったあと、図3になるような裏返し方はあり ますか。 裏返し方があればその方法を答え, 裏返し方がなけれ ばその理由を答えなさい。 2 15 6 (終わり)

回答

全体をみるとよく分からなくなります。なので今回は1だけに注目して考えてみます。すると、
操作Aは右に60゜回転。
操作Bは(右に)180゜回転
操作Cは右に300゜回転(左に60゜回転)
すると捉えられます。このことを利用すると、
(4)の問題はこれら以下の通りに言い換えられます。
A,B,Cの操作を合計で4回やって、120゜,480゜,840゜,1200゜, ⋯を作ってね☆
という問題になります。
まず操作Aを4回やった時を考えると60゜×4=240゜となります。よって120゜は候補から外れます。次に操作Cを4回やった時を考えると、300゜×4=1200゜で1200゜よりも大きいものは候補から外れます。
あとは操作A,B,Cを4回行って、480゜,840゜,1200゜となるパターン全てを見つけていきます。
ここから計算していくにあたって値が大きく、面倒なので工夫したいです。全部60゜+60゜+⋯のようにやってきたので全部60の倍数であるといえます。なので60゜で割っても特に問題ないです。なので60゜で割ってあげます。
そうすると比は
(操作A=1):(操作B=3):(操作C=5)とかけ、求めたい奴の比は8と14となります。あとは1,3,5を4回使って8と14と20を作っていくだけです。その組み合わせは
1コメ 1+1+3+3
2コメ 1+3+3+1
3コメ 3+3+1+1
4コメ 3+1+1+3
5コメ 3+1+3+1
6コメ 1+3+1+3

7コメ 5+1+1+1
8コメ 1+5+1+1
9コメ 1+1+5+1
10コメ 1+1+1+5

11コメ 5+5+3+1
12コメ 5+5+1+3
13コメ 5+1+3+5
14コメ 5+3+1+5
15コメ 1+3+5+5
16コメ 3+1+5+5
17コメ 1+5+5+3
18コメ 3+5+5+1
19コメ 5+3+5+1
20コメ 3+5+1+5
21コメ 5+1+5+1
22コメ 1+5+3+5

23コメ 3+3+3+5
24コメ 3+3+5+3
25コメ 3+5+3+5
26コメ 5+3+3+3

27コメ 5+5+5+5
です。あとは1→ A,3→B,5→Cに直せばOKです。

𓆡

因みに(5)は1,3,5を10回使って3+6+6+⋯は作れるかと言い換えれますが答えはnoで3+6+6+6+⋯は必ず奇数になり、1.3.5は奇数を偶数回(10回)使うため必ず偶数になります。なので偶数と奇数が一致しないので絶対に表せないです。
かなり難しいですね。高校生がやる確率より難しい気がします。この問題…
受験頑張ってください。

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