回答

把題目推廣來看
r₁(x) = m₁x+n₁
r₂(x) = m₂x+n₂
(題目:m₁=m₂=1, n₁=n₂=-2)

你原本的解法,推廣後可以寫成:
m₁·g(x) = x·r₁(x) - r₂(x)

結論是,上面的解法是對的
(不管 r₁ 和 r₂ 是什麼)

推廣後可以如下證明

qn

比較接近問題本質的證明思路:

設 f(x) = g(x)Q₁(x) + r₁(x)
其中 r₁(x) ≠ 0 ,g(x) 首項係數為 1
並且 deg g(x) = 1 + deg r₁(x)
(最後一個條件保證了 xr₁(x) ≠ r₂(x) )

xf(x) = g(x)·xQ₁(x) + xr₁(x)
= g(x)Q₂(x) + r₂(x)
( xr₁(x) ≠ r₂(x) 且 xQ₁(x) ≠ Q₂(x) )

所以
g(x)·xQ₁(x) + xr₁(x) = g(x)Q₂(x) + r₂(x)
g(x) [xQ₁(x) - Q₂(x)] = xr₁(x) - r₂(x)

比較多項式的次數
deg g(x) + deg[xQ₁(x)-Q₂(x)] = deg(xr₁(x)-r₂(x))
= 1 + deg r₁(x)
= deg g(x)

所以 xQ₁(x)-Q₂(x) 是常數函數,設為 m
對照首項係數可知,m 為 r₁(x) 的首項係數
所以 m·g(x) = xr₁(x) - r₂(x)

この回答にコメントする
疑問は解決しましたか?