Question

w.s.

請問這題謝謝
右上角是我自己解的：x(x-2)=x-2
結果算出來的式子剛好跟答案一樣，請問可以這樣算嗎還是只是運氣好

一個無蓋的長方體容益。他先在粉
■),再將各邊摺起來黏貼,即可
二立方公分。試回答下列問題。
方形,試求長方體容器的容積之
【建國中學
【北一女中】
(19 已知f(x)和g(x)均為多項式,且f(x)和xf(x)分別除以g(x)的餘式都是x-2。已知g(x)的首項
係數為1,則g(x)=x-3X+2。
f(x)= Jax) (Q,+(x+2)
2
xf(x) = gox) Q2 + (x2)
2
【中一中】
X-2X=X-2
X-3X+2=0
(X-1)(x-2)=0
x-f(x) = (x²+bx+c). x.qxx)+(x-2x)
1+b+c
(+2)-C
二
01 (A)
(x+x+c)+x.q(x)+(x+6x+c) |+ (-6-2)x-c
2
(x+6x+c) [x-(x)+1] + (-b-2)x-c
二
-2

Answer 1

qn

把題目推廣來看
r₁(x) = m₁x+n₁
r₂(x) = m₂x+n₂
(題目：m₁=m₂=1, n₁=n₂=-2)

你原本的解法，推廣後可以寫成：
m₁·g(x) = x·r₁(x) - r₂(x)

結論是，上面的解法是對的
(不管 r₁ 和 r₂ 是什麼)

推廣後可以如下證明

qn

比較接近問題本質的證明思路：

設 f(x) = g(x)Q₁(x) + r₁(x)
其中 r₁(x) ≠ 0 ，g(x) 首項係數為 1
並且 deg g(x) = 1 + deg r₁(x)
(最後一個條件保證了 xr₁(x) ≠ r₂(x) )

xf(x) = g(x)·xQ₁(x) + xr₁(x)
= g(x)Q₂(x) + r₂(x)
( xr₁(x) ≠ r₂(x) 且 xQ₁(x) ≠ Q₂(x) )

所以
g(x)·xQ₁(x) + xr₁(x) = g(x)Q₂(x) + r₂(x)
g(x) [xQ₁(x) - Q₂(x)] = xr₁(x) - r₂(x)

比較多項式的次數
deg g(x) + deg[xQ₁(x)-Q₂(x)] = deg(xr₁(x)-r₂(x))
= 1 + deg r₁(x)
= deg g(x)

所以 xQ₁(x)-Q₂(x) 是常數函數，設為 m
對照首項係數可知，m 為 r₁(x) 的首項係數
所以 m·g(x) = xr₁(x) - r₂(x)