✨ ベストアンサー ✨
1桁の整数のうち、
2か4の位が偶数個あるのは1,3,5の3個です
（1や3や5は、2も4も0個=偶数個だからです）
2か4の位が奇数個あるのは2,4の2個です
（2や4は、2や4が1個=奇数個だからです）
22とか42とか1234は偶数個使っているので
aₙの方にカウントします
数学
高校生
解決済み
この問題で、もう最初から分からないんですけど、何故a1＝3 b1＝2なのでしょうか？
問題の意味が理解できません。。
一応解説も載せておきます。
解説お願いします！
(1)1,2,3,4,5を並べてn桁の整数をつくる (nは自然数)。 これらのn桁の整
数のうち, 2または4である位が偶数個ある整数の個数を α 奇数個ある整数の個
数を bmとする。ただし、1個も含まれていない場合は、偶数個含まれていると考え
るものとし、同じ数字を繰り返し用いてもよいものとする。
a1=3,61=2であり
J&opt
a2= アイ b2= ウエ
である。
(1)n=2のとき,1~5を並べた2桁の整数は全部で5225 (個) できる。
このうち, 2または4である位が1個だけある整数は
2×3×2=12 (個)
2または4である位が0個または2個ある整数は 25-12=13(個)
よって a2=13,b2=12
次に, an, bn, an+1, bn+1 の関係を調べる。
(n+1) 桁の整数のうち, 2または4である位が偶数個ある整数は,次の
いずれかによって得られる。
(i) n桁の整数のうち, 2または4である位が偶数個ある整数の右端に,
1, 3, 5 のいずれかを付け加える。
この場合の個数は α×3=3an
(ii) n桁の整数のうち, 2または4である位が奇数個ある整数の右端に,
24のいずれかを付け加える。
この場合の個数は 6×2=26m
よって an+1=3an+26n
bn+1 についても同様に
bn+1=2an+36n
① + ② より
an+1+bn+1=5 (a+b)
①
a1=3, b1=2であるから α1+b1=5
+
2
よって、 数列{an+6}は初項 5 公比5の等比数列であるから
an+bn=5.5n-1
･･･ A
an+b=5" (①)
B
また, ①-②より
数学化する力
(n+1) 桁の整数のつくり方と漸化
式の形が問題文に書かれている。 そ
の意味を理解して、条件を満たす整
数の個数を α や b で表すことを
考える。
A
等比数列の一般項
an+1-bn+1=an-bn
a-b1=3-2=1
であるから, 数列{an-bm} はすべての項が1である。
すなわち an-bn=1
③ ④より
an=
2
5+1 (0), b. = 5-1
bn
2
初項 α, 公比rの等比数列{a} の一
般項は
B
an=arn-1
a+b は,1~5を並べてできるn
桁の整数全体の個数を表すから,こ
れは 5個。
よって, an+b= 5" と求めてもよ
い。
(2)n≧2のとき (1) の2 または 4 である位が偶数個あるα 個のn桁の整
数において, 位の中の5をすべて0に置き換えると, 0, 1,2,3,4を
並べてできる整数ができ,この中には最高位が0であるものも存在する。
これを (1) における (n-1) 桁の整数とみなすと
Cn=an-an-1 (①)
5"+1
5-1+1
2
2
(5-1).5"-1
2
=2.5-1 (0)
C
C
Cn は, an 個の n桁の整数のうち、最
高位が0になる α-1 個の整数を除
いたものの個数である。
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分からなかったので助かりました！
ありがとうございます。