Question

いな

(2)はなぜpについて積分しているのですか？
また、式変形の仕方も教えていただけると嬉しいです🙇‍♂️
まだ積分の範囲を習っていないので基礎的なことを教えて欲しいです

260 断熱変化と等温変化■ 容器の中に1molの単原子 A
分子理想気体が入っている。 この気体の圧力と体積Vを
図のようにゆっくりと変化させる。以下では,気体定数をR
T1
B
C
とする。また,必要ならば,a≦x≦b の範囲で、関数と
0 VA VB
Vc V
x
x軸との間で囲まれる面積は積分 So/1dx=10g 1/2(10geは自然対数)で求まることを
利用してよい。
(1) 図のA→Bの過程のように,気体を体積 VA から VB まで断熱膨張させると,気体の
温度は T から T2 に下がった。 このとき,気体が外部にした仕事を求めよ。
(2)容器を熱源に接触させて,図のA→Cの過程のように,気体の温度を T に保ちなが
ら,気体の体積をVA から Vc に膨張させた。 このとき, 気体に外部から加えられる
熱量を求めよ。
[18 琉球大] 255
ヒント 259 衝突前後の運動量の差 (ベクトルで考えた差) が力積に等しい。
260 熱力学第一法則 「4U=Q+W=Q-W'」 (W' : 気体がした仕事) を用いる。 断熱変化で
は Q=0, 等温変化では⊿U=0 となる。

260
A→B, ACの過程では気体が膨張するので、 気体は外部に仕事をしている。 また, 熱力学第一法
則 「4U=Q+W=Q-W'」 (W': 気体がした仕事) においてA→Bは断熱変化なので Q=0, ACは
等温変化なので 4U = 0 となる。
(18-
解答 (1) ABの過程は断熱変化なので Q=0。 よって, 熱力学第一法則
「4U=Q-W'」(W' : 気体がした仕事) より
4U=0-W'=-W' よってW'=-4U
ここで単原子分子理想気体の内部エネルギーの変化の式
3
「JU=12123RRAT」より 4U= 1/2×1×R×(T2-Ti)=202/R(T2-T;)
W'=− AU = −3³| R(T2–T1) = R(1
=-R(T-T)=R(T-T₂)
0
2-
事
ゆえに
(2) 求める熱量をQとする。ACの過程は等温変化なので⊿U=0。
よって, 熱力学第一法則
1 内部エネルギーの変
3
の式「AU=123RAT」より
「4U=Q-W'」 (W' : 気体がした仕事) より
0=Q-W' よって Q=W'
ここで理想気体の状態方程式 「DV=nRT」 より
RT1
pV=1xRT
よって
N
GT-VE)x(+1
4T0 ならば4U=0
767-VE) × (9+)
V図の面積は気体が外部にした仕事を示すので、問題文の式を用いて
•vcRTi
•Vc
Q=w=S, V-SRV-RTS OV
・VC
pdV
=
VA
= RT, loge V
VA
VA
VA
PV = nRT
Imal.
dv
(1)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

GDO

「(2)はなぜpについて積分しているのですか？」について解説します。

先に結論（計算の意味）を記載します。
「圧力一定ではないから単純にP(VC-VA)で気体のした仕事Wを求めることができないので、
　圧力変化を細かく刻み(⊿V)、極限まで細かくすると⊿Vの変化ではPは一定になるので、
　気体のした仕事⊿W（圧力P⊿V）を計算。これをVAからVBまで合計してWを求めています」です。

＜解説①＞高校での学び方「仕事＝面積」（「進んだ距離=面積」も同様に学習していると思います）
・「気体のした仕事＝面積：V軸と関数p=T₁/V (V=VA～VB)で囲まれた面積」
・積分は、面積の計算と同じなので∫pdVを計算すると、求めたい結果を得ることができます。

＜解説②＞積分への変換を解説（解説①の説明方法を変えたものです）
圧力一定の場合は、気体のした仕事W=P(VC-VA)になりますが、
定温で圧力が変化する場合に、単純にPVの計算ができないので、
VAからVCまでを極限まで細かく刻むと(刻み幅⊿V)、⊿VごとのPは一定になり、
⊿W(V)=P⊿Vを計算します。
この刻んで計算した全ての⊿W(V)を合計するとWになります。
（例えばn等分に分ける(VC-VA)/n、n→∞）
すると、以下の様になります。
W=⊿W(VA)+W(VA+⊿V)+W(VA+2⊿V)+…+W(VB-2⊿V)+W(VB-⊿V)
　=P(VA)⊿V+P(VA+⊿V)⊿V+P(VA+2⊿V)⊿V+…+P(VB-2⊿V)⊿V+P(VB-⊿V)⊿V
　積分で表すと、
　=∫P(V)dV　になり、P(V)=T₁/Vなので代入すれば、
　=∫T₁/V dV という形になります。(=T₁ ∫1/V dV)

積分は極限まで細かく刻んだ線のような面積を合計する意味を持っています。
＝気体のした仕事⊿W（圧力P、体積変化⊿V）をVAからVBまで合計してWを求めています。

＜解説➂＞積分の計算方法（公式）
以下は、積分の公式（対数関数の公式）として覚える内容です
・∫1/x dxは数Ⅲで学習する積分なのですが、∫1/x dx=log|x|となります。
・また、VAからVCまで積分（定積分という）すると、logVC-logVA=log(VC/logVA)です。
⇒∫1/x dx (VA～VCの定積分) =logVC-logVA=log(VC/logVA)

-----
「積分の基礎的なこと」の件
積分（定積分）の意味は面積と同じと記載しましたが、積分の基礎ではありません（積分の使い方の例です）。
積分の基礎学習は、微分を学習した後が良いと思います。
また、この問題の積分は数Ⅲなので、基礎的なことは微分とセットが良いと思いますので、解説は控えさせてください。
・・・基礎的なことを、どう説明してよいかわからず、内容も長くなりそうなで、ごめんなさいです。

いな

ご丁寧な解説ありがとうございます🙇‍♂️とても分かりやすく大変助かりました🙏

Answer 2

鯛のお造り

定積分までの道のりって遠いんよな…

(1)関数の極限
ある関数y=f(x)があって、xを、x₀と異なる値を取りながらx₀に限りなく近づけたとき、f(x)がある定数Aに近づくならば、Aを、xをx₀に近づけた時のf(x)の極限値といい、
　lim[x→x₀]f(x) = A
で表す

(2)微分法
関数y=f(x)上の2点、P(x₀, f(x))、Q(x₀+h, f(x₀+h))に対し、直線PQの傾きは、
　(yの増加量)/(xの増加量)=(f(x₀+h)−f(x₀))/h
ここで、hを0に限りなく近づけるとき、すなわち、
　lim[h→0] (f(x₀+h)−f(x₀))/h
を考えると、QはPに限りなく近づくから、「P 1点での傾き」のようなものを考えることが出来る。
これをf(x)のx₀での微分係数といい、全てのxで微分係数を考えることにより、f(x)の傾きの情報をもつ別の関数が得られる。これをf(x)の導関数といい、
　f’(x) = lim[h→0] (f(x+h)−f(x))/h
と表す。導関数を求めることを微分するという。

(3)不定積分
F(x)の導関数がf(x)であるとき、F(x)をf(x)の不定積分といい、
　F(x) = ∫ f(x)dx
で表す。F(x)だけでなく、F(x)+C (Cは定数)を微分してもf(x)となるから、一般にf(x)の不定積分はF(x)+Cである。
また、定数kに対し、kを積分の外に出すことが出来る。すなわち、
　∫ kf(x)dx = k ∫ f(x)dx
が成り立つ

(4)定積分
y=f(x)、x軸、x=a、x=b (a≦b)で囲まれる面積をf(x)の定積分といい、
　∫[a→b] f(x)dx　(=∫[a→b] ydx)
で表す。f(x)の不定積分F(x)が分かっているとき、
　∫[a→b] f(x)dx = F(b)−F(a)
で計算できる

y=f(x)のグラフのx=aからx=bまでの面積が
　∫[a→b] y dx
なので、p=RT₁/VのグラフのV=V_AからV=V_Cまでの面積は、
　∫[V_A → V_C] p dV
　= ∫[V_A → V_C] (RT₁/V) dV
　= RT₁ ∫ ∫[V_A → V_C] (1/V) dV　(RT₁は定数)
　=RT₁log(V_C/V_A)　(問題文の式より)