Question

ドーナツ

3枚目の写真の緑のマーカーで囲った※Bの部分の言っていることが分からないので教えてほしいです。

64.〈ピストンで封じられた気体分子の運動〉
なめらかに動くピストンがついた容器内に質量mの単原子分子
からなる理想気体が封入されている。 ピストンおよび容器は断熱材
でできている。図に示すように x, y, z軸をとり, 容器の断面積は
一様であるとする。 次の問いに答えよ。
〔A〕 まず,ピストンが固定されており, ピストンの底部は容器の
底からんの距離にある場合を考える。
(1)容器内のある1個の気体分子を考え,そのz軸方向の速さを
ひとする。分子がピストンに弾性衝突したときピストンが受
ける力積の大きさを求めよ。
(2) (1)において1個の分子がある時間 4t にピストンに衝突する回数を答えよ。
(3)(2)においてN個の分子によって 4tの間にピストンが受ける平均の力の大きさを答
えよ。ただし,気体分子全体のvzの2乗の平均 22 を用いよ。
〔B〕 次に,ピストンをz軸の負の向きにより十分に小さい一定の速さで押しこんだ
場合を考える。なお理想気体では, 内部エネルギーは各気体分子の運動エネルギーの総和
となる。
z軸方向の速さvz の1個の分子がピストンに弾性衝突した後の軸方向の分子の速さ
vz を求めよ。 また,衝突前後の分子の運動エネルギーの変化量⊿u を答えよ。この際,
1±
b
b は十分小さいことより (10) = 0 という近似が成りたつことを用いよ。
Vz
Vz
Vz
Vz
(54)において⊿t の間のN個の分子の運動エネルギー変化の合計 4U を v22 を用いて答
えよ。 ただし, 4t の間のピストンの移動距離はんに比べて十分小さいものとする。
〔A〕のときの容器の体積を V,気体の温度を T, 内部エネルギーをひとおく。また,
4tの間の体積の変化を⊿V, 温度の変化を⊿T とする。 気体分子全体の速さ”の2乗
44 が成りたつこと
の平均をとしたときが成りたつこと,また,
U
を用いて 4 を 4T, T を用いて表せ。
AV
V
記 (7/3)で求めたを用いて、4tの間に気体がピストンにされた仕事⊿W を答えよ。 また,
この結果を(5) と比較して,気体を断熱圧縮したとき,気体がされた仕事と運動エネルギ
ーの関係について説明せよ。
[23 埼玉大改]

64 〈ピストンで封じられた気体分子の運動〉
(4) 近似式を用いることを意識しながら式変形をしていく。
(5)ピストンが動いているので、衝突から次の衝突までにかかる時間は短くなり、4tの間の衝突回数は厳密には(2)の結
果とは異なるが,変化はないと近似して解く。
[A](1)衝突による気体分子の運動量の変化は図aのように2mvzであり,
これは気体分子がピストンから受けた力積に等しい。 逆にピストンは,気
体分子から大きさが等しく向きが反対の力積を受けるので
2mvz
・①
(2) 衝突から次の衝突までに, 気体分子はz方向には往復で2h 運動すること
になる。 ⊿t の間に,気体分子は方向には距離 vz4t 運動するので,この
間の衝突回数は
vzAt
C-2h
(3)1個の気体分子が⊿tの間にピストンに与える力積は ① ② 式より
vz4t_mvzAt
2mvzX
2h
h
N個の分子による力積を 4I とおくと, ③式より
4I=NX-
mvz At A
h
よって, 求める平均の力の大きさは 「AI=F・⊿t」より
AI_Nmvz
F
4
At
h
衝突前の運動量
Z
mv
運動量の変化
mv
-2mvz
衝突後の運動量
図 a
A 平均値は次の式で求
められる。
2
Vz Σviz²
N=1
つまりN個の分子による和
は平均値のN倍となる。
物理重要問題集 67

Uz-(-b)
ゆえに
vz'=vz+26
[B](4) 気体分子とピストンは弾性衝突するので(図b), 反発係数の式は
10^(-6)
よって
v₂-b=v₂+b
衝突による速度変化はz成分のみなので,運動エネルギーの変化は
su-meme
図 b
-m(+26)-m²
=2mm/(1+2)
2mvz.b
=2mvzb
Vz
(5)ピストンの移動距離が小さいため,4tの間の衝突回数は ②式と同じと近
似できる。 よって, 4t での運動エネルギーの変化は
v₂At
VzAt
-xAu=
2h
2h
x2mvzb=
mvz26
-4t
h
ゆえに,N個の分子の運動エネルギーの変化は
4U=Nx-
-4t=
Nmvzb
mvz2b
-4t
h
h
(6)ピストンの面積をSとおくと
V=Sh
AV=-SbAt
と表せるので
AV
V
b
-4t
また気体の内部エネルギーは
U=NX1/+mv²
と表せるので,これと④式より
4U
U
Nmvzb
h
2
2
b
Atx-
Nmv2
よって 1/1241=1/2
b
3 AU
3 AT
=
2 T
これと⑤式より
AV
V
3 AT *B⭑
2 T
(7)ピストンを十分に小さい一定の速さで動かしているので,加えた力の
大きさは(3)で求めたFとほぼ同じと考えられる。 よって,気体がピスト
ンにされた仕事は
AW=FXbAt=-
Nmvz2b
h
-At
ゆえに,気体がされた仕事は (5) で求めた運動エネルギーの変化 (④式) 等
しいことがわかる (運動エネルギーの変化は内部エネルギーの変化である
ので,熱力学第一法則 4U = Q+4W の断熱変化 (Q= 0) のときの式が確
かめられたことになる)。
<-B
AT
ST=-2 AV
3
であり,この式から,単原子
分子理想気体において
TV/3/3 =一定
であることが導ける。
65
(1),(2)
(2)~(4)
(3)単
(5)等
(1)状)
(2)
つり
#1

熱力学

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

鯛のお造り

積分なので高校範囲外です。近似使いまくればいけるかもしれませんが…

　ΔT/T=(-2/3)ΔV/V
より
　∑ΔT/T=(-2/3)∑ΔV/V
ΔT→0、ΔV→0の極限を取ると、
　∫dT/T=(-2/3)∫dV/V
　logT=(-2/3)logV+c　(c:積分定数)
　logT=logV^(-2/3)+log(e^c)
　logT=log{V^(-2/3)･e^c}
　T=V^(-2/3)･e^c
　T･V^(2/3)=e^c(定数)

ドーナツ

丁寧にありがとうございます