to educate their childrenかfor educating their childrenだと思います。beacuse of は〜のおかげ、〜のせいというニュアンスがあり、少し解釈が違ってくるように思われます。
education of childrenだと'子ども教育'と言うひとつのなってしまい、そこには彼らの子供為に、という意味がなくなってしまいます。'彼らの子供を教育する為にその家族はNZに引っ越した。'と言うと綺麗にまとまるかと思います!
The two kinds of answers are both correct, and they mean the same thing.
The usage of “when”, “after”, “before”, …… is similar.
Example: After typing, I will sleep for a while. = I will sleep for a while after typing.
本の回答は、
Because of the children's education, the family moved to New Zealand.
なのですがこのbecause ofの位置が前に来る時と、文の途中で入る時の違いがわからないです(т-т)