タグに 平行四辺形 とあるので
ABDCは平行四辺形だと考えて書いてます。
たぶんEFHDGの面積を求める問題だと思うけど
はっきりしないので途中まで。あとはわかると思う。
BE:EF:FCの比率はたわばさんが書かれている通りですので、あとは計算するだけですがあえて計算してみました。
私の手順は比率の求め方がいまいちうまくない気はしますが....以下にしめします。
△ABFと△GCGは相似(※2)なので、AB:CG＝2:1よりBF:FC＝2:1 －－－－(1)
また、AF:FG＝2:1 －－－(2)
(※1) AB//CHより ∠ABF＝∠HCF（錯角)、∠BAF＝∠CHF（錯角)
△HCFの面積を A(cm2)とすると(2)より △ACF＝2A －－－(3)
(1)より、△ABF＝2△ACF＝4A －－－(4)
AC:GG＝3:2より GB＝(2/3)AC＝2
つまり、AB＝GB＝2なので△BAGは二等辺三角形。よって、
∠BAG＝∠BGA、また ∠CAG＝∠BGA (錯角) より、AEは∠BACの二等分線である。
二等分線の性質から、AB:AC＝BE:EC＝2:3 (※2) －－－－(5)
(※2)BからAGに平行な線を引き、ACとの延長線との交点をIすれば、
∠CAG＝∠AIB（同位角)、かつ∠IBA＝∠BAG（錯角）なので△AIBは
AI＝ABの二等辺三角形であり、IA＝AB。つまり、IA:AC＝AB:AC＝2:3
(5)より、△ABE:△ABC＝2:5 なので、
△ABE＝(2/5)△ABC
＝(2/5)(△ABF＋△ACF) これに(3)(4)を考慮すれば
＝(2/5)(4A＋2A)
＝(12/5)A
△AEF＝△ABF－△ABE＝4A－(12/5)A＝(8/5)A 問題よりこれが 8(cm2)なので、
8＝(8/5)A となり、A＝5(cm2)と分かる。
△ACEと△GBEは相似（あえて理由は書くまでもないですね...）であり、AC:BG＝3:2よりAE:EG＝3:2
つまり、△ABE:△BEG＝3:2 より△BEG＝(2/3)△ABE＝(2/3)(12/5)A＝(8/5)A＝8(cm2)
全体の平行四辺形ABDCの面積は、△ABEの2倍であり、△ABEは
△ABE＝△ABE＋△AEF＋△ACF＝(12/5)A ＋ (8/5)A ＋ 2A ＝ 6A ＝ 30(cm2)なので、
全体の平行四辺形の面積は、60(cm2)
求めるEFHDGの面積は、□ABDCー△ABC－△BEG－△HCF＝60－30－8－5＝17(cm2)
BE：EF：FC＝6：4：5
でしたので訂正版。
直した箇所は緑で書いていますm(_ _)m