Question

ほとけまる

xyz空間で曲面z=(x^2+y^2)/2aの内側は滑らかである。
この曲面の内側に質量mの質点を置き、その運動を調べる。
(1) この系のLagrangianをx,yおよびそれらの時間微分を変数として書き下せ。
(2) x=rcosθ、y=rsinθとおく。(1)のLagrangianをr,θおよびそれらの時間微分を変数とするように書き換えよ。
(3) (2)のLagrangianを用いて、r,θに関する運動方程式を導出せよ。
(4) 原点付近ではこの質点はどのような運動をするか説明せよ。

この問題は(4)までできていて、画像の通り運動の予想はできていますが証明できません。原点付近なのでrを0に近づけたら高次のrは消去できると考えましたが、そもそもこれで合っているのでしょうか。説明お願いします。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ゲイシャ

摩擦のない放物面の内側に質点をおいたときの運動ということは、直感的には、エネルギー保存則のもとで位置エネルギーと運動エネルギーを相互に変換しながら、曲面に沿って登り下りを繰り返していきそうです。

外力が作用しないなら、θへの依存性は無視できて、面内でどの方向に動くかは考えなくてよさそうです。

そうすると、xy座標軸の取り方は任意で、適当に選べば、面内の運動の軌跡は放物線として記述できるはずです。

原点に近づくにつれて早くなり、原点で最高速に達します。放物面を表す定数aは、実質的には振動のバネに相当することになるとみえます。（最後に導出されたrの運動方程式は明らかに単振動）

ほとけまる

ということは、θの運動方程式は考えなくてもよくて、rの運動方程式が単振動であることを示すことができればいいですね？

ゲイシャ

この設問ではθは無視してよいと思います。極座標をつかうときにx→0, y→0の極限を考えてみれば、r→0だけが要請されるからです。

ということで、この問題に対する答案としては十分よくできてるのだと感じます。固有角振動数と等価バネ定数がaできまることを示せれば合格なのかなと。自由落下で初期条件を与えた場合の原点における最高速を具体的に固有角振動数で示せばよいと思います。

ところで、この(4)は数式を解くことが目的ではなく、ラグランジュ形式から出発したものが直観的にどのように解釈されるべきかという物理的視野を養うための問題だと思います。

面に摩擦があって、慣性モーメントをもつ球に拡張した場合にはエネルギー散逸があるので、そのようなケースについて考察できると、おもしろいですね。

ほとけまる

ありがとうございます。