Question

おうじゃP

(シ)で直列(問題の図4)と並列(問題の図5)の時のコンデンサーに蓄えるエネルギーを比較しているのですが(シ)の解説で0＜ω^2LC＜2の時とあるのですがどうしてこの範囲になるのか分かりません。
ω^2LCが2より大きい値を取った時は考えないのでしょうか？

出典:難問題の系統とその解き方 服部嗣雄 著 P193 195

Chapter 1 電磁気
Section 4
交流と荷電粒子の運動
192
例題 35
交流回路②
以下の空欄(ア)~(シ)にあてはまる式または語句を解答用紙の該当す
る欄に記入せよ。 また, 空欄(a), (b)にあてはまる答えを図3から選び、
その番号を解答用紙の該当する欄に記入せよ。
る。したがって、同じ電圧振幅 V を発生する交流電源に接続するとき,
コンデンサーが蓄えるエネルギーの最大値は直列接続の場合(
[J] であり, 並列接続の場合(ク) 〔J〕 である。 また, コイルが蓄え
るエネルギーの最大値は、 直列接続の場合は) [J] であり,並列
接続の場合は) [J] である。 並列接続の場合, コンデンサーが蓄
えるエネルギーの最大値とコイルが蓄えるエネルギーの最大値が等
しくなるのはω=)〔rad/s〕のときである。
コンデンサーから放射される電磁波の強さは, コンデンサーが蓄積
するエネルギーに比例するとしよう。 交流電圧源の電圧振幅 Vo を一
として、交流電圧の角振動数を変えて電磁波の放射エネルギーを大
きくしようとするとき, コイルとコンデンサーの直列接続と並列接続
とを比較するとシン) 接続のほうがより強く電磁波を放射すると考
えられる。
図1に示すように, 電気容量がC〔F〕] のコンデンサーを角振動数ω
[ rad/s ] の交流電圧を発生する電圧源に接続する。 回路には時間を
[s] として,図2に示すようなIo cos wt 〔A〕 の交流電流が図1の矢印の
向きを正として流れる。 t=0s でコンデンサーの電圧は0Vで,コンテ
ンサーの蓄える電荷はOCであった。 交流電流が流れることによって
時刻に図1のコンデンサー上側の極板が蓄える電荷は) [C]で
あり、コンデンサー両端の電圧は() [V] である。この交流電圧
はコンデンサーの極板間に,時間的に変動する電界を作る。
変動する電界付近には, 変動する磁界が発生する。 図2の0<t<
/ 200の間では,コンデンサーの極板間の電界の向きは図3の(a)
の向きである。この向きの電界の時間変化率は0<t < π/20 の間で正
であり、この間に変動する電界は、コンデンサーの上側極板に流れ込
む電流が,そのままコンデンサーの極板間を流れるものと考えた場合
に発生する磁界と,同じ向きに磁界を発生する。 したがって,0<t
<π/20の間にコンデンサー周囲に発生する磁界は図3(b)の向
きである。 この磁界の周りには、変動する電界がさらに発生する。 こ
うして、コンデンサーの周りには、次々と変動する磁界と電界が発生
し、周りの空間に伝えられる。 これが電磁波である。 光の速さをc[m/
s] とすると,このコンデンサーから放射された電磁波の波長は(ウ)
[m〕 と計算される。
コンデンサーから電磁波を発生させるとき, コンデンサーとコイル
を接続した回路がよく用いられる。 電気容量C [F] のコンデンサーと
自己インダクタンスL [H] のコイルを,図4のように直列接続する場
合と,図5のように並列接続する場合を比較しよう。図4の直列回路
I cos at 〔A〕 の交流電流が流れるとき, 電圧源が発生する電圧の振
幅は国〔V〕である。 一方, 図5の並列回路のコイルとコンデンサー
Vosin at 〔V〕 の電圧を加える場合には, コンデンサーに流れる電流
の振幅は(オ) [A], コイルに流れる電流の振幅はカ) [A] であ
図 1
考え方の
キホン
電流
415
図4
電流 [A]
Io
0
-10
2ω
②
3
w2w
図2
図5
2x
時間
t(s)
コンデンサー
-0
電流
図3
(同志社大)
交流で電圧や電流を求める場合、 普通は,振幅(最大値) と位相を
別々に処理すればよい。 振幅はオームの法則から求め、位相はπ/2
だけ進むとか遅れるとかを判断し, cot+π/2とかwt-π/2とかとすればよい。ただ
この問題では、設問の順序からみて、 微分や積分を用いて解答するのが、出題者
の意図であろう。
1-4 交流と荷電粒子の運動
電磁気
193

卒列のとき
でれ
などなるので
(カ) コイルの電流をとすると, v=Vosin wt だから
〔注〕は,次のように求めてもよい。
Vo
1/0C sin ( ot + 1) =
2
di Vosin wt
dt
−7+=0
ic=
って、求める振幅は,
コンデンサーの雨
MEMO
Vo/wL
は、次のように求めてもよい｡
1
WC
生
...
wc
直前のとき
Vo
wt-
i₁= (ct--7/2-) = -
cos wt
Vo sin(at-
V₁ + V₂ = Vo
wL
WL
(設問)より、Iosing=Fal普通に
電流:I=
2
-wL·10=
To
it=
P
42/3=1.
WC
2
Vo
Yo Ssi
L
|=wCV cos wt
12/211-1/12/1
(コ)設問(カ)より、電流の最大値は,
1
2
各単位の微積表現
sin wt.dt=-
L @CVo
1-w²LC
lo=
-CV・
ク) 並列接続だから、電圧の最大値はV。 である。
(ケ)設問(キ)より,
de
dt,
Vag=SEdr[r=ra→rℓ]
※Eは電場の位置の関数
V=RIV=R{4}/
V=L{F} /
cos wt
Voと等の形を作り、
¥0 普通に書形/
一定の電流に変換して求める
WC
1-w²LC
1
(1-0²LC)²
Vo
Vo だから、
wL Vo
G-EL
..
70
✓
Iosino
↓
求めるのは最大値
-=3
Vo
V2
-1-4(5/2)² =
wL
20²L
V²
(サ) 設問(ク), (コ)より, 1/12/CV=
: 共振
coswt.Cusat=-1のとき
1
VLC
2
20²L
(シ)設問(キ) と(ク)を比較して,0<LC <2のときは,並列接続より直列接
続のほうがコンデンサーのエネルギーが大きくなる。よって、直列
-
(10)=1.
(1-4²LC)²
(1-2)² = /
CV2/2
電圧がⅤosinwt
なので sino=1
• Vo
+上の式で(=タレン
なのでそきつぎ
両辺を(二乗)
x/12/2xx_
(WC)²
(二乗)して、
4/2/2人
電荷:q=SIdt/消費電力:P=テ・S{V.C}de)
※Vは電圧の時間関数
8(t) 1
V = C = C • SI dt /
AL
1 電磁気
(4)の時並列でコンデンサーと
コイルの蓄える電気が最大→並ありのMax
{ax#, u=//=², 4²LC = 1.0<4²LC < 2
なので別の Max より適列の同じときの方が
1-4 交流と荷電粒子の運動
174857"
195.

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

えだまめ🫛

(キ)より
直列接続ではコンデンサが蓄えるエネルギーは
1/2･CV₀･1/(1-ω²CL)²

1/(1-ω²CL)² に注目すると

0<ω²CL<2の範囲では分母が1より小さくなるため
蓄えられるエネルギーが大きくなる

またω²CL→1 に近づけるほど
得られるエネルギーは無限に大きくなる
(実際はあり得ない)

逆にω²CLが1に遠ざかるほど
分母が大きくなりエネルギーが小さくなる

なので0<ω²CL<2の範囲しか考えていないのだと思います。

おうじゃP

すごく納得出来ました。ありがとうございます。