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(1) f(x)=x²+ax+b があり、y=f(x)のグラフが2点(1,1),(3,7)を通るので、それぞれの
2点を代入すると、
1=f(1)=1+a+b -----> a+b=0 ---(a)
7=f(3)=9+3a+b ----> 3a+b=-2 ---(b)
(b)-(a)を計算すると
3a+b=-2
-) a+b= 0
---------
2a =-2
a =-1
これを(a)に代入すると-1+b=0 よりb=1
(2)
(1)よりf(x)=x²-x+1 とわかったので、-1≦ x≦ 2 の範囲の f(x)の最大値、最小値を
求めるには、まず f(x)のグラフの形がどうであるかを考えておく。
y=f(x)=x²+1+1 を y=(x+a)²+b のような形にできれば、そのグラフの頂点は(a,b)
とわかるので、この形に変形することを考える。
(x+a)² = x²+2a+a² なので、2a=-1 となる aは、a=-1/2 である
(x-1/2)²= x²-x+1/4 なので、x²-x+1 よりも 3/4小さいので、
f(x)=(x-1/2)²+3/4 であることがわかる。
つまり、(1/2, 3/4)がこのグラフの頂点であり、このグラフは x²と正（プラス）であることから
下に凸のグラフであることがわかる。
x=1/2 は、-1≦ x≦ 2 のちょうど真ん中の値なので、x=-1 または 2の時最大となる
ことがわかる。つまり、f(-1)=3 または f(2)=3
f(x)の最小値は3/4 であり、その時 x=1/2
f(x)の最大値は 3 であり、その時 x=-1 及び 2
(3)
tが正の定数であり、-t≦ x≦ 2t における f(x)の最大値がM、最小値をmとするというので、
f(x)の頂点(1/2, 3/4) よりも 2tが大きいか、小さいかを意識する必要がある。
(A) 1/2≦2tである場合、と
(B) 2t ＜ 1/2 である場合
の２つにわけて考える。
(A)の場合は、(2)よりx=1/2の時 f(x) [=f(1/2)] は最小となることがわかっているので m=3/4である。
※ tが正の定数なので、tの値は t=1,2,3,... のようであるため、一番小さい t=1 で
あったとしても -1≦ x≦ 2 となり、f(x)=x²-x+1 の頂点はこの範囲内となることは
明らかである。
M+m=21/2 より M+3/4=21/2 つまり、最大値Mは M=39/4
この時のtは、39/4=x²-x+1 を満たすxを求めれば良い。
x²-x-35/4=0
これを解の公式により解けば、x=-5/2, 7/2 であるが、tは正の定数なので t=7/2
(B)の場合は、グラフの形から最小値mは x=2tの場合なので、 m=(2t)²-2t+1 = 4t²-2t+1 である。
最大値Mは x=-t の場合なので、M=(-t)²+t+1= t²+t+1 である。
M+m=21/2 より、(t²+t+1) + (4t²-2t+1) = 21/2
5t²-t+2 =21/2
10t²-2t-17=0
t=(1±√171)/10
tは正の定数なので、t=(1+√171)/10
なんか面倒な値になっており、これで合っているのだろうか....
もう一つ誤記がありました....
誤:(x+a)² = x²+2ax+a² なので、2a=-1 となる aは、a=-1/2 である
正:(x+a)² = x²+2ax+a² なので、2a=-1 となる aは、a=-1/2 である
あらら、(2)はなんか誤記だらけですね。(2)を書き直します。
(2)
(1)よりf(x)=x²-x+1 とわかったので、-1≦ x≦ 2 の範囲の f(x)の最大値、最小値を
求めるには、まず f(x)のグラフの形がどうであるかを考えておく。
y=f(x)=x²-x+1 を y=(x-a)²+b のような形にできれば、そのグラフの頂点は(a,b)
とわかるので、この形に変形することを考える。
(x+a)² = x²+2ax+a² なので、2a=-1 となる aは、a=-1/2 である。
(x-1/2)²= x²-x+1/4 なので、x²-x+1 よりも 3/4小さいので、
f(x)=(x-1/2)²+3/4 であることがわかる。
つまり、(1/2, 3/4)がこのグラフの頂点であり、このグラフは x²と正（プラス）であることから
下に凸のグラフであることがわかる。
x=1/2 は、-1≦ x≦ 2 のちょうど真ん中の値なので、x=-1 または 2の時最大となる
ことがわかる。つまり、f(-1)=3 または f(2)=3
よって、
f(x)の最小値は3/4 であり、その時 x=1/2
f(x)の最大値は 3 であり、その時 x=-1 及び 2
だめだ、(3)も最初勘違いしたときのまま書いている部分がありました。
誤：※ tが正の定数なので、tの値は t=1,2,3,... のようであるため、一番小さい t=1 で
あったとしても -1≦ x≦ 2 となり、f(x)=x²-x+1 の頂点はこの範囲内となることは
明らかである。
正：（削除） [正の整数と勘違いして最初メモしたものです。間違っていますし、不要なコメントです]
一部誤記がありますね。訂正しておきます。
誤：y=f(x)=x²+1+1 を y=(x+a)²+b のような形にできれば、そのグラフの頂点は(a,b)とわかるので、この形に変形することを考える。
正：y=f(x)=x²+1+1 を y=(x-a)²+b のような形にできれば、そのグラフの頂点は(a,b)とわかるので、この形に変形することを考える。