Question

あや

数lll 教p192 例題5
マーカー部分がなぜこうなるのか分からないので詳しく教えてくださいm(_ _)m

例題
5
ILO
解
関数y=|x|√x+1 の極値を求めよ。
この関数の定義域はx≧-1である。
x≧0のとき, y=x√x+1 であるから,x>0では
y'=√x+1+
2√x+1
よって, x>0 では常に y'>0
1≦x<0のとき、y=-x√x+1
であるから, -1<x<0 では
y'= -
3x+2
2√x+1
2
y'=0 とすると x=
3
ゆえに,yの増減表は次のようになる。
x -1
V
y0
よって, yはx=
+
2
3
2
3
3x+2
2√x+1
0
極大
2√3
9
で極大値
2√3
9
-1_2
3
0
極小
0
YA
0
2√3
9
18
, x=0で極小値0 をとる。

微分法の応用 関数の極大と極小

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ブドウくん

x>0と書いて、x=0を除いているのは、x=0では微分可能ではないからです。xが0より大きい部分では、分母の√x+1も分子の3x+2も正であるため、y'も正です。xが0より小さい部分では、分母の√x+1は定義域内では正で、分子の-(3x+2)は-2/3で符号変化して正から負になるので、y'も-2/3で同じように符号変化します。なお、x=-1では分母が0になってしまうので、y'は定義できません。

あや

定義域の端は微分出来ないと言うことですか？

ブドウくん

x=-1のときは、導関数の定義にしたがって極限値をとったときに∞に発散するので定義できません。x=0のときは、x→0の極限値をとったときに右側極限と左側極限で値が異なります。すなわち微分可能の条件を満たしません。図を見てもなめらかではなく尖っていて連続ではありますが微分可能ではないです。

ブドウくん

つまり、定義域の端x=-1だけでなくて、x=0も微分できません。

あや

ありがとうございました！m(_ _)m