Question

るいと

下の問題の解答を書いてみました。
個人的に結構自信がある解答なのですが不備がないか心配です。どなたか検算していただけませんか？

この1問を40点満点でつけるとしたら何点が付けられそうだというのも主観で構いませんのでつけていただけると幸いです。

134 f(x)=ex-1, g(x)=10g(x+1) とする. a>0, b>0 のとき,
f(x)dx+g(x)dx≧ab12
を示せ.また,等号が成り立つための α, b がみたす条件を求めよ.
205 X
(お茶の水女子大)

1341
f(x) = ex-1
g(x) = log (x+1)
b
• f(x) dx + ³ g(¹) dx zab E IF
(等号成立も)
Sª e²-1 dx = [ex-x]@²
= (e²-a) - (e°-o)
= e²-a-1
So g(x) dx = [ " log_ (x+1) dx
b
= [ (x+1) log (x +1) - X
-x]!!
= [(b+₁) (₂_ (b+) - b} - {(0+1) by (0+1)-0}
(b+c) log (bt) - b
e²-a-1 + (btl) log_ (bti) -b zab
ea + (b+1) log (bt) = a + b + ab + 1
eat (b+1) log (b+₁) = a(b+₁) +b+l
ea + (b+1) log (bt) = (a +i) (b4)
a>o. b>0
ea z (bti) (at)-(b+i) log (6+1)
ea = (b +) {(a+1) - log(6+1)} £4,
i eat ze (b+i) { (a fi) - log (6+)"} {FEFFIS.
•. f(a,b)=eaª¹_ e(6+₁) { (9+1) - log_(b+)} = 5C.
atl= x₁ btl=y=$34, (x>1, Y>1)
f(x.g) = e" - ey (x-logy)
y=kで固定すると、
fix.k) = ex-ekx + eklogk
g(x)=f(x,k)とすると,
g'(x) = ex-ek
g'(x)=0 act, exek
x = log (ek)
= It log k
x | (1) | ... | | + logk
g'(x)
g(x)
O
|g(1+lok)
+
g(H+ logk) = élogek_ek(Itlogk) tek logk
= ek ek ek logk + ek losk
= 0
g(x)20
f(x,k) 20が任意の実数x,kで成立するので、
f(x,y) 20
よって、
ex-et (x-logy) 30
ex zey (x-logy) 51
=> [ª fras de + f ²2 (²) dx zab
等号成立は、g(x)=0のとき、
24 x = 1+ logg => a+1=1 + log (btl)
a = log (bH)
#

お茶女