先生:図1は,正八面体の見取図と展開図です。 正八面体と 図1
次のア~オに適当な数または番号を入れ, 会話文を完成させよ。
は,どのような立体でしたか。
生徒: 8個の合同な正三角形で囲まれた立体で, 頂点が6個,
辺がア本あります。
[求めてみましょう。 図2のように, 立方体のそれぞれ
先生: そうですね。 では,正八面体の体積を立方体を使って
面の対角線の交点を A, B, C, D, E, F とすると
この6個の点を頂点とする正八面体ができます。 この図2
とき, 四角形AEFC, ABFD, BCDEは合同な正方形です。
立方体を正方形BCDE を含む平面で切った切り口は図3
のようになり,正方形 BCDEの対角線の長さは,立方体 B E
の1辺の長さと等しいことが分かります。立方体の1辺の
長さを4cmとして正八面体ABCDEF の体積を求めてみ
ましょう。
生徒 : 正方形BCDEの面積はイcm²だから,正四角錐ABCDE の体積はウ cm²です。 この正四角錐の
体積の2倍が正八面体の体積となります。
先生: 立方体を使うと、体積が求めやすくなります。 正八面体の特徴にもよく気がつきました。 では, 次の問題
はどうでしょうか。
先生: 図4の1辺の長さが6cmの正八面体に
おいて, 点Bから辺AC, CD, DF を通
って点Eまで,1本の糸をかけます。 糸
の長さが最も短くなるようにかけたとき
の糸の長さは何cmか, 図5の展開図
を使って求めてみましょう。
①
生徒: 図5の① ~ ⑤ の中で,点Eにあたる番号
は,
エです。かけた糸のようすを図5にかき入れて考えてみると, 最も短くなるときの糸の長さは,
オcmとなりました。
図 6
先生: そうですね。 展開図にかき入れると, かけた糸のようすがわかりやすくなりま
す。最後は,正八面体の中に作られた立体の体積の変化の問題です。 図6の1
辺の長さが6cmの正八面体の辺上を毎秒1cmの速さで6秒間だけ動く2点P,
Qがあります。
2点P, Qは点Aを同時に出発し, 点Pは辺AB上を点Bに向かって, 点Qは
辺AD上を点Dに向かって動きます。 三角錐 CPFQ の体積が正八面体
となるのは, 2点P, Qが点Aを出発してから何秒後
6
のことか, 考えてみましょう。
ABCDEF の体積の
図 4
B
E
F
16cm
D
A
F
D
図5
B
△△
図3
B
B
章末応用問題
C (3)
P
E
(4)
B
ID
A
8
・D
16cm
□ (2)(1)の会話文中の下線部について,何秒後か求めよ。ただし,2点P,Qが点Aを出発してから秒後のことと
して,tについての方程式をつくり求めよ。
よく分かりません。できれば解説してもらいたいです！