【規則性の問題】

数学

中学生

解決済み

2年以上前

受験生

【規則性の問題】
規則性を見つけ、n番目の面積を　みたいな問題での規則性の見つけ方がわかりません。コツなどありますか？
特に2枚目（2）は式を自分で思いつける気がしません。

高校では等差数列や等比数列などを学ぶという解答も見たことありますが、それを今どう使えるのかも分かりません。
問題の例の写真は上が問題、下が解答・解説となっています。

少しでもアドバイスがあれば、ご回答よろしくお願いします！！

⑥ 右の図のような, 直角三角形のタイルAとタイルBが,それぞれたくさんある。いずれのタイルも,直角をはさむ2辺の長さが1cm と KUF 「2cmである。タイルAとタイルBを, 次の図のように,すき間なく規則的に並べて, 1番目の図形, 2番目の図形, 3番目の図形, … とする。下の表は,それぞれの図形の面積についてまとめたものの一部である。 -II図 1番目の図形 2番目の図形 3番目の図形4番目の図形 gabindlayofestin 1番目の図形 2番目の図形 3番目の図形面積(cm) 1 2 out 4 このとき、次の問い (1) (2) に答えよ。 Grilor, olime 1) 7番目の図形と16番目の図形の面積をそれぞれ求めよ。 7番目の図形の面積( 16番目の図形の面積( cm²) (2) 奇数番目の図形の縦の長さは, 1番目が、 3(cm), ….となるので, (n-1) 番目は, n -cm, 横が 2 Tak ( 2n+1) 番目の図形は、縦が, 縦, 横について, それぞれタイルAを8枚並べた長さだと考えればよいから、面積は, 1 Prim 2 =1(cm), 3番目が, n番目の図形と (2n + 1) 番目の図形の面積の差が331cm²となるようなを偶数とするとき, (2) n を求めよ。 n=( 220 【解き方】 (1) 奇数番目の図形は直角三角形で、7番目の図形では,縦がタイルAの1cmの辺4枚分.横がダイルAの2cmの辺4枚分の長さだから、面積は, 1 × 4 × 8 = 16 (cm²) 同様に、15番目の図形では, 2 n × 2 = n (cm) の直角三角形だから、面積は, 2 形の面積は,これにタイルBを枚加えるので, 2 n² 4 cm²) + 5番目の図形 (cm²) 16番目は、 15番目の図形にタイルBを8枚加えるから, 64 + (/1/2×2×1) x 8 = 72 (cm²) (4) 1+1 2 (2n + 1) + 1 2n+2 2 2 Ⅰ図 andd 1cm 12cm タイルA 3+1 2 n (n-1)+1 n 2 (cm) よって, (n-1) 番目の図形は、縦が 2 × xn= 2 cm = 2(cm), 5番目が、タイルB n² 4 1 cm n n² 2 4 = x 8 x 16 = 64 + X 2 2 (/1/2×2×1) =n+1(cm),横が2 (n+1) cm の直角三角形 5+1 2 (cm²) n番目の図 1 になるから、面積は, x (n+1) x 2 (n+1)= (n+1)2 (²) よって,(n+1)2 - 2 n (m²)また, 2 n + 4 2 UNCE 20, 331 が成り立つ。展開して整理すると,n2 + 2n-4400だから, (n-20) (n +22)=0 したがって, n = 20-22 n は正の偶数だから, n=20 LINE 【答】 (1) (7番目の図形の面積) 16 (cm²) (16番目の図形の面積) 72 (²) 20 CAMERA

数学中学公立中期規則性図形

回答

✨ ベストアンサー ✨

Clearnoteユーザー

2年以上前

規則性の見つけ方は頭の中だけで考えず、同時に、手を動かしてみることだと思う。

1枚目
解説を見ずに最初に考えたのが、各段の右端の数がn²だから、n²から何を引いたら各段の左端の数になるか？、そして、そこに規則性はあるのか？ということ。このことを書き出してみると、規則性があることが分かった(①のこと)。

左端の数をnを使って表すとき、
①各段の右端の数n²から何を引いたら各段の左端の数になるか
和の公式を使って、
②左端の数1,2,5,10,…から直接求める
③各段の真ん中の数1,3,7,13,…をnを使って表し、そこから何を引いたら左端の数になるか
など、複数の考え方がある。
※ 和の公式
{(最初の数)+(最後の数)}×(数の個数)×(1/2)

n段目の左端の数をNとする。(③は、一般的な考え方ではないような気がするので省略)
①
１段目　1=1-0
２段目　2=4-2
３段目　5=9-4
４段目　10=16-6
：
n段目　N=n²-(2n-2)
よって、N=n²-2n+2

②
１段目　1=1
２段目　2=1+1
３段目　5=1+1+3
４段目　10=1+1+3+5
：
n段目　N=1+(1+3+5+…+2n-3)
和の公式から、
N=1+{1+(2n-3)}×(n-1)×(1/2)
N=1+(n-1)²
よって、N=n²-2n+2

2枚目
画像のような表を作ると、偶数番目、奇数番目のそれぞれで、規則性があることに気づく。

⑵
nは偶数。
n=2のとき、2n+1=5
n=4のとき、2n+1=9
n=6のとき、2n+1=13
：
なので、
２番目　2=1×2 …… ５番目　9=(5-2)²
４番目　6=2×3 …… ９番目　25=(9-4)²
６番目　12=3×4 …… 13番目　49=(13-6)²
：
という関係になるから、これらをnを使って表すと、
２番目　2=1×2
４番目　6=2×3
６番目　12=3×4
：
n番目　N=(n/2)×{(n/2)+1}…①

５番目　9=(5-2)²
９番目　25=(9-4)²
13番目　49=(13-6)²
：
2n+1番目　N={(2n+1)-n}²…②

従って、②-①=331をnについて解き、n>0より、n=20