Question

かりん

どうして3:12になるのかを教えてください！

16 正方形ABCDで,点P,Qをそれぞれ辺BC, CDの中点とし､
線分APをPの方向に延長した直線と辺CDをCの方向に
延長した直線との交点をRとする。 点Bと点R, 点Pと点 Q
を結ぶ｡
このとき,△APQの面積は、
四角形ABRDの面積の何倍か,
求めなさい。
△APQ:四角形ABRD
3:12
21/12/20
倍
B
***** x
2
P
m
2
2
2
D)
②
C
17

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

lv0043

図にある数字は恐らく以下のように考えているのでしょう。
△CPQの面積を１ （△CPQ=1と表す）とすると、
△ABPの面積は、△CPDより高さが２倍なので△ABP=2
△ADQの面積も△ABPと同様なので△ADQ=2
□ABCDは、△ABPが４つ分に相当するので、□ABCD=2x4=8
つまり、△APQの面積は、□ABCD-△ABP-△ADQ-△CPQ=8-2-2-1=3

RはCDの延長線上の点なので AB//CR
つまり、∠ BAP=∠ CRP (錯角)
∠ APB=∠ RPC （対頂角)
∠ ABP=∠RCP (=90°)
３つの角が等しいので、△ABP∽ △RCP
ところで、点PはBCの中点なのでBP=CP
つまり、△ABPと△RCPの辺の長さの比は1:1である。つまり、△ABP≡△RCP
よって、AB=CR
また、□ABCDは正方形なので AB=CB ということは BC=CR。
△BCRは□ABCDの半分の面積とわかるので、△BCRは=4
□ABRD=□ABCD+△BCR=8+4=12

△APQの面積が□ABRDの面積の何倍かを計算するには、△APQ÷ □ABRD を計算すればよい。
△APQ÷ □ABRD = 3/12=1/4

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または、実質同じですが正方形ABCDの１辺の長さを aとすると、
□ABCD=a²
△ABP=ax(a/2)x(1/2)=a²/4
△ADQ=ax(a/2)x(1/2)=a²/4
△CPQ=(a/2)x(a/2)x(1/2)=a²/8
△APQ=□ABCD-△ABP-△ADQ-△CPQ=a²-a²/4-a²/4-a²/8=3a²/8

BC=CR=a より、△BCR=a x a x(1/2)=a²/2
□ABRD=□ABCD+△BCR=a² + a²/2 = 3a²/2
△APQ÷ □ABRD = (3a²/8) / (3a²/2) = 1/4

かりん

丁寧に説明していただきありがとうございます😭