Question

みー

（3）の問題が分かりません！なぜ、xが最大となるのはsin2θ＝１なんですか？

8037
1. 斜方投射 水平な地面から初速 vo, 投射角0で小球を投げ出
した。重力加速度の大きさをgとして,次の各問に答えよ。
(1) 投げ出してから地面に落下するまでの時間を求めよ。
(2) 投げ出した地点から落下地点までの水平距離を求めよ。
(3) 小球の初速 v を変えずに, (2)で求めた水平距離が最大になる投射角を求めよ。
また, そのときの水平距離を求めよ。
ヒント (2) 2sincost = sin20 の関係を用いる。
例題2
Vo

6. 斜方投射
解答
2v₁ sin
vo² sin 20
Vo
(1)
(2)
(3) 45°,
g
g
g
指針 斜方投射された小球は, 水平方向には等速直線運動, 鉛直方向
には鉛直投げ上げと同じ運動をする。 (水平距離) = (水平方向の速度成
分) × (飛行時間)である。 (3) では,この距離が最大となる0を調べる。
解説 (1) 投射した地点を原点, 水平右向きにx軸、鉛直上向きにy
軸をとる。 初速度の鉛直成分は, vosin となる (図)。 求める時間を t
から,
gt2
1
とすると,鉛直投げ上げの公式y=uot-
0=vosino.t- 0=t(vosine-1/29t)
-
2912
2v, sin0
t=0は不適。t=
g
(2) 求める距離をxとする。 速度の水平成分は, vcOSA なので,
2v, sin vo2 sin 20
x=vocoset=vo cose・
g
g
(3) (2)から, 水平距離 x が最大になるのは, sin20=1, すなわち,
0=45°(20=90°)のときである。 最大値は
g
となる。

物理 斜方投射

Answer 1

怪盗オメガ

sinは-1以上1以下が取ることの出来る範囲になります。
今回の場合は

-1≦sin2θ≦1

となるため

sin2θ=1の時、最大になります。
つまり

2θ=π/2の時、最大です。

よって

θ=π/4=45°

となります。

みー

それは単位円を使って考えられますか？

怪盗オメガ

単位円でsinはy座標の値となります。
この場合でもyは-1から1の値を取ることが分かると思います。

みー

θは0≦θ≦90だから、0≦sinθ≦1ではないんですか？何度も質問してしまいすみません💦

怪盗オメガ

問題の意味からするとそのように解釈するのが普通ですが、90°より大きな角度で投げることも可能です。
(その場合、後ろや地面に向けて投げてしまうことになりますが)

みー

水平距離が最大になるために投げるのに後ろや地面に投げてしまっていいんですか？
別の問題（3）の解答では0≦θ≦90で解いているのですが、この問題でも0≦θ≦180で解けますか？

怪盗オメガ

sinの範囲として投げられるということで、投げて良いということではないです。

あくまでsinの最大値が1ということです。

0≦θ≦180というのはどこから出て来ましたか？
2θだからでしょうか？

θとか2θとかの問題ではなく、sinは0°から90°の範囲では90°の時、sinは最大値1を取るということで考えます。

Answer 2

ぽん

sin2θの最大値は1となるからです。sinの定義域です。

みー

どうしてsin2θの最大値は1になるのでしょうか？また、sinの定義域とはなんですか？