Question

ゲス

(3)から(5)を教えて頂きたいです

問題1.Vを上の無限回微分可能な関数全体のなす R- 線形空間とする. f.fa.f.fa∈Vをf(x)=
sin, fz(x) = coss, f(x)=xsinz, fa (r)=ICOSITE)により定める. WcVをfuf2,f3, fa によ
り生成される部分空間とする. 線形写像F : V→Vを微分F (f)=f' で定める.
(1) F(fi), F(f2), F (fs), F (fa) を求めよ.
(2) F(W)W であることを示せ .
(3)f1,f2,f3, fa は W の基底であることを示せ .
(4) 線形変換F|w: WW の基底f1,f2,fs, fa に関する表現行列を求めよ.
(5) Fw が実数の固有値を持たないことを示せ .

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Crystal Clear

(3)f1,f2,f3,f4がWを張ることは定義から言えるので、それらが一次独立であることを示せばいい。
ロンスキアンを計算してそれが0でないことを示してもいいが、ここでは直接的に示すことにする。
a1f1(x)+a2f2(x)+a3f3(x)+a4f4(x)=0 for all x in R　①
とする。
①でx=0としてa2=0を得て、①に代入したものを②とする。
②でx=πとしてa4=0を得て、②に代入したものを③とする。
③でx=1とするとa1+a3=0 ④
③でx=-1とすると-a1+a3=0 ⑤
④⑤よりa1=a3=0
これでa1=a2=a3=a4=0となるので一次独立。

(4)(1)の結果より
F(f1)=f2
F(f2)=-f1
F(f3)=f1+f4
F(f4)=f2-f3
よって表現行列は略
https://mathlandscape.com/map-matrix/

(5)表現行列の固有値を求めると±iゆえ実数の固有値をもたない。
(実数の固有値λをもつと仮定すると、固有ベクトルgはg(x)=Ce^(λx)となるが、これがWに含まれないということ)

ロンスキアン 表現行列