物理
高校生

物理の薄膜による干渉の問題です。
写真3枚目、(8)の「m=0ではiを大きくしたときに次の極大点を取り得ない」というところの理由が分かりません。
m=0のとき光路差はちょうど半波長になると思いますが、このとき入射光を大きくしても、干渉光が再び最大の明るさになることはないということでしょうか。
なぜそのようになるのか理由を教えてください。

12光 991.〈薄膜による光の干渉〉 図1に示すように,空気中で水平面上に置かれた屈折率 n の平坦なガラ (1) ス板の上に,屈折率 n で一様な厚さdをもつ薄膜が広がっている。波長 の単色光を薄膜表面に対して垂直に入射させ,薄膜の上面で反射する光線 ① 空気 と。薄膜とガラス板の間の平坦な境界面で反射する光線②の干渉を考える。 光線①と光線②が干渉して生じた光のことを干渉光とよぶ。いま,空気の屈 折率を1とし,n>n>1 の場合を考える。 屈折率 n1, n2 が光の波長によっ て変わらないとして,次の問いに答えよ。 薄膜 (2) (1)薄膜中の光の波長 入 を, n1, 入。 を用いて表せ。 (2)薄膜の厚さを0から連続的に増していくと, 光線 ①と光線 ② からなる干渉光は,強めあっ て明るくなったり,弱めあって暗くなったりした。 干渉光の明るさがん回目の極大となっ たときの薄膜の厚さ dk を, n1, do, k (k=1,2,3, ・・・) を用いて表せ。 (3) 薄膜の厚さ dk のときに, 入射する単色光の波長を入から短くしていくと, 干渉光は一度 暗くなった後,再び明るくなり極大となった。 このときの入射光の波長入を 入o, kを用 いて表せ。 13 14 (4) (3)の観測において,入射光が入。=500nmで明るかった干渉光は、波長を短くしていくと, 一度暗くなった後, A2=433nm で再び明るくなった。 薄膜の屈折率を n = 2.0 として 波 73 の厚さdkの値を求めよ。 次に,図2に示すように, 波長入 の単色光を薄膜表面の法線に対 して入射角(i<90°)で入射させた。このとき,薄膜の上面で反 射する光線 ① と, 薄膜の上面において屈折角で屈折して薄膜とガ ラス板の間の平坦な境界で反射し、薄膜の上面に出てくる光線②と の干渉を考える。 これらの光線は図中の点 A1, A2 において同位相 であるとする。 図2 (5) 薄膜の屈折率 n, 入射角i, 屈折角の間の関係式を示せ。 (6) 光線①と光線②の干渉光が強めあって明るくなる条件を,屈折角 1,屈折率 n, 厚さd, 入射光の波長 入と整数m (m=0, 1 2 3 ) を用いて表せ。 (7) (6)の条件を,入射角i,屈折率n,厚さd,入射光の波長 入と整数m (m=0,1,2,3, ・・・) を用いて表せ。 (8) 垂直入射(入射角 i=0°) で明るかった干渉光は入射角を大きくしていくと,一度暗 くなった後、再び明るくなり極大となった。このときの入射角を i=i としたとき、ふと 薄膜の屈折率 n1, 整数mが満たす関係式を求めよ。 ①1 空気 薄膜 ガラス板 ガラス板 図 1 法線 法線 A [17 大阪府大改]
ヒント 91 〈薄膜による光の干渉〉 ( 2 ) 1回目の極大(k=1) が, 一般的な強めあう条件のm=0 に対応することに注意する。 (3) 強めあう条件は波長と波の数m+ 1/23) の積なので,入が小さくなると(m+ m+ (8) 入射角が大きくなると、光路差 2d iniが小さくなることに注意する。 20 よって (1) 屈折の法則 ※And より 1.Ào=n・入1 n1 (2) 光線 ①と光線 ② の経路差 41 は, 薄膜の厚さの往復分なので4l=2d であ る。 「光路差= 屈折率×経路差」 より 2nd = (m + 1) do 20 ..1 n4l=n₁ Al= 2n₁d 光線①の反射では位相が反転する (半波長分ずれる)が,光線②の反射では位 相変化はない。以上より, 光線 ①と②が強めあう(干渉光の明るさが極大に なる)条件は整数m(m=0,1,2,3,…..) を用いて 2ndk=k-1+ 1回目の極大(k=1) が②式のm=0 に対応するので,回目の極大は m=k-1 のときである。 そのときの薄膜の厚さがdkなので, ②式より dx=(k-1 + 1/ ) do=(x - 212 ) do (k-1/2)40_21-1-20 よって dk= 2n1 4n₁ (3) ③式において単色光の波長を小さくしていくと,光路差 2ndk の中に含ま れる波の数が増えるので、干渉光が再び明るさ極大になるときに波長 入2 の 満たす条件は 2ndk=k+ / -) ₁₂ * B * 2B 2 ③式 ④式より 入z= -λo= 1 2k+1 2k-1A0 k+ (4) 入。=500nm,入2=433nm と⑤式より 2k-1 433= --500 2k+1 = よって k= 933 134 1/12 ) が大きくなる。 -=6.96≒7 (kは整数) (2)の結果に,k=7, n=2.0, 入。=500nm=5.00×10-7m を代入すると (2×7)—1 d₁= ×5.00×10=8.125×10≒8.1×10-m 4×2.0 (5) 屈折の法則 「nsinO=nsin02」 より (図a) 1•sini=n*sinr よって sini=nsinr ・③ ・④ 5 6. A 屈折の法則 n₁ sin 0₁=n₂sin 0₂ N1V1=n₂V2 nid₁=n₂d₂ ◆B干渉光が極大になる 条件である ③ 式 nds=(k-1 1/2-) 20 において, 波の数k 数 ( k - -1/2) [と] 波長入の積が一定である。 こ れより入が小さくなると (k-1212) が大きくなるので、 入に {(*+1)--( * ++) が対応する。 空気 (n=1) 薄膜 (n1) a
(6) 図bにおいて, A1 と A2 は同一波面上の点なので同位相である。 A,B, の光路長は1×AB=×AB2sinr=AB2nsinr A2B2 の光路長は 1×A2B2=AB2sini AB2n1sinr=AB2sini ⑥式を用いると となり, AB の光路長と A2B2 の光路長は等しくなる。A1とA2が同位相 であるから, B1 と B2 も同位相であるc。したがって,光線①と光線②の 経路差⊿l は,B,C と CB2 の和になる。 B2 から薄膜の下面に下ろした垂線 の延長線と, AC の延長線の交点を B2' とすると 経路差 ⊿l=B,C+CB2=BiC+CB2′=B1B2'=B2B2′cosr=2dcosr よって,光路差nalはn4l=nB2B2′cosr=2nd cosr 光線①の反射では位相が反転するが,光線 ② の反射では位相変化はない。以 上より, 光線①と②が強めあう条件は 2ndcosr=m+ ² + 1/2 ) ²²₁ λ3 (7) 「sin²0+cos²0=1」の関係と⑥式より cosr=1-sinr=1-(sini) = これを(6)の結果に代入すると 2ndy /m-sin²i = (m+1/21) 23 よって2cvm-sini = (m+12) 2 n1 (8) 入射角 i = 0°のときに干渉光が明るくなるので, (7) の結果より 2d/m²-sin²0°=2nd=(m+/1/2) is 3 0°≦i<90°の範囲で, i を大きくすると光路差2d-iniは小さくな るので, i=i のときに干渉光が明るくなる条件は 2d√mi-sin'is = (m-212)kg √n₁²-sin²i n1 ⑦ ⑧ ただし,⑦式より i=0, m=0 では光路差は12/23kgとなり,iを大きくした ときに次の極大点をとりえないので、m≧1 となる。 (m-1/-)13 2d√n²-sin²i₁ 2n₁d n + 1/1/1 ) 1²³ √n₁²-sin²i₁2m-1 ni (ただし, m=1,2,3,..) よって 2m+1 (整理すると (2m+1)'sin²i=8mni² ) 8 (2) 空気(n=1) 薄膜 (n1) ガラス(n2) n₁ > N₂ > 1 B₁ A2 B2 d ID 2d B 2 ′ 図 b ◆C同位相の点をつない だ線を波面という。 波は波面 と直角方向に進むので, AC と直交する線分B1 B2 は1つ の波面となる。 よって, B1 と B2 は同位相である。
薄膜 光の干渉

回答

✨ ベストアンサー ✨

今回の問題の場合光路差がマイナスになることはありませんから、強め合いが起こるのはλ/2、3λ/2、5λ/2、……のときです。そして、模範解答にもある通り、入射角iを大きくすればするほど光路差は小さくなります。
だから、例えばi=0で光路差3λ/2(つまりm=1)だった場合、iを大きくしていけば光路差はどんどん小さくなっていって、いずれλ/2に到達したとき、もう一度強め合いが起こるわけです。
だからもし、i=0の時にすでにλ/2だった場合、iをどういじった所で光路差は小さくなるばかりで、強めあいが起こるはずがないというわけです。

蓮水

とても分かりやすくて助かりました。
ありがとうございます!

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