Question

Non

√120+a² が整数となる自然数aは全部で何個ありますか？
答え+解説お願いします🙏‼︎

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

mo1

●式が、√{120＋a²}と、√内に120もa²もあるものとします。

自然数nを用いて、

　√{120＋a²}＝n　として、両辺を2乗して整理すると

　　　120＋a²＝n²

　　　　　120＝n²－a²

　　　　　120＝(n－a)(n＋a)

n，aが自然数なので、n－a，n＋a　は自然数で、n－a＜n＋a　から

　積が120となる自然数の組を考え

　　120＝1×120、2×60，3×40，4×30，5×24，6×20，8×15，10×12

　このうち、{n，a}が自然数になるものは

　　120＝2×60，4×30，6×20，10×12　の4組　つまり、aの値は4個

　このとき、

　　①n－a＝2，n＋a＝60　を解いて、a＝29，n＝31

　　②n－a＝4，n＋a＝30　を解いて、a＝13，n＝17

　　③n－a＝6，n＋a＝20　を解いて、a＝7，n＝13

　　④n－a＝10，n＋a＝12　を解いて、a＝1，n＝11

確認

　a＝1のとき、√{120＋1}＝√121＝11

　a＝7のとき、√{120＋49}＝√169＝13

　a＝13のとき、√{120＋169}＝√289＝17

　a＝29のとき、√{120＋841}＝√961＝31

Non

なぜ積が120になる自然数の組を考えるのですか？

mo1

120＝(n－a)(n＋a)　となっています、

更に、(n－a)，(n＋a)という自然数の２組の値の間には、「×」がありますので

自然数(n－a)と(n＋a)の積が120になるので、これを探します

補足

　因数分解：x²－5x－14＝(x－2)(x－7)と、積が14になる数を考えたはずです

mo1

最後　訂正です

　因数分解：x²－5x＋14＝(x－2)(x－7)と、積が14になる数を考えたはずです

mo1

御免なさい。再訂正です

最後　訂正です

　因数分解：x²－9x＋14＝(x－2)(x－7)と、積が14になる数を考えたはずです

Non

ありがとうございます！こんなに大変なんですね💦
知っていたらでいいんですが、もっと簡単にする方法はありますか？

mo1

確かに面倒ですね。

ですので、個数だけ出せば良い　と、なっているような気がします

ただ、個数だけなら、積が120の数を考えて、ともに偶数で、4組と意外と早く出るかもしれません

★積を考えて値を出すような問題や両辺を2乗して考えることは

　解くためのツール(思考方法)として身に着けておいた方が高校等でも役立つと思います

Non

ありがとうございます😭mo1さんのおかげで似たような問題も解けるようになりました！これからも参考にさせていただきます💖