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解き方
①Pを文字a,bを用いて表しておく
②P-Q=45に代入してa,bの式にする
③「√(P+Q)が自然数」にも代入してa,bの条件に直す
④二つの条件を同時に満たすa,bの組を見つける
⑤見つけたa,bをPの式に代入したものが答え
P=10a+b, Q=10b+aとおける。
ただし、a,bは1以上9以下の整数とする。
※a,bが0以上でない理由を理解しよう。
[条件1]
P-Q=45より、9a-9b=45
整理して、a-b=5
※見通しをよくするためにも整理は重要。今回の場合、整理したことによって、a,bの差が5であることがわかる。
差が5になる1以上9以下の整数の組み合わせだから
(a,b)=(9,4),…,(6,1)
と絞り込める。
※条件を用いて少ない候補に絞り込んでおくと後で楽になることが多い。
[条件2]
P+Q=11(a+b)
√(P+Q)が自然数になるのは、P+Qが自然数の2乗のときだけである。
※条件をP+Qの世界に引きずり込むように読み換える。自分の知っている領域に引きずり込むことが大事。
P+Qが自然数の2乗になるのは、a+bが11×自然数の2乗のときだけである。
※さらに扱いやすい領域に引きずり込む。P+Qをa,bの式で表したことによって可能になった。
a+bが11×自然数の2乗になるのは、絞り込んだ組み合わせのうち、(8,3)だけである。
※条件を満たすa,bを見つければいいが、先に絞り込んだことでより見つけやすくなっている。
よって、P=83
確かめてみよう。
83-38=45
√(83+38)=√121=11
条件を両方満たすので、答えとして適している。
ありがとうございます！