Question

あ

電気双極子がつくる電場の導出過程において、
赤線部分の式変形が分かりません。
ご解説よろしくお願い致します。

9 電荷と静電場
電荷の大きさを4, 負の電荷から正の電荷にいたるベクトルをdとするとき,
p=gd
をその電気双極子の双極子モーメントという (図 9.26) 電気双極子がどのような電場をつ
(9.43)
くるかはpによっている。
一酸化炭素COや水H2Oなどの分子は電気的に中性だが,電子による負の電荷の分布の中
心と原子核による正の電荷の中心が少しずれている。このような分子は電気的には電気双
極子とみなすことができる.
電気双極子による電場を,まず電位を求め,それから式 (9.42)によって電場を計算す
る,という方法で求めてみよう.
1
V(r)= 4760 (√r-d/2\_\r+d/21)
正負の電荷の中心を原点とし,正の電荷g はd/2に,負の電荷-gはd/2にあるとする.
このとき, rにおける無限遠を基準点にする電位は,式 (9.37 ) により
191
図 9.26 電気双極子
1
\r-d/2 = (r²-d.r) +
= 1/(1+d+r)
となる。第2項はdの符号を変えればよいから,
となる.ここで|d|は小さく, |d|<|r|であるとして, dについて1次までの近似でV(r) を
計算する.
式 (9.44) の( )内の第1項では, dについて2次以上の項を無視すれば,
|r-d/2|=(r-d/2)・(r-d/2)
r²-d.r
したがって,式 (A.28) の近似を使って
dr
\r+d/2₁ ==—= (1-2;r)
となる。これを式 (9.44) に代入し,
(9.44)

192
が得られる。pは式 (9.43) で定義した双極子モーメントである.pとrのなす角を0とすれ
ば,prprcose だから
pcos
V(r)=47E0
22
(9.46)
と書くこともできる。 電位は, 点電荷の場合と違って, rの方向にも依存し,また”に反比
例する.
電場を得るには, 式 (9.45) をx, y, zで偏微分しなければならない.p・r=pxc+pyy+pzz
の関係と例題 9-14で得たの偏微分
ar
ory or
ax
V(r)=
を用い, 電場の
Ex=-
==
Ex=-
1
4 TEO
成分は
IC
r' dy
r
po
4760 2x (PT)
Ox
dz r
1 700 [ 22 (p⋅r) — 3 + (p.r) 22 ( 1² )]
2x
Amors 3
\[Px__3(p•r) x
(9.48)
347Eо Lr³
47² ]
となる. y, 2成分はこの式のpvをPy, pz, xをy, zにそれぞれおきかえることによって
得られる。すなわち,
Ey=
Py__ 3(p⋅r)y ]
ベクトルの式としてまとめると,
1
3(p.r)
4 760 [25-3 (P-T) 2]
(9.45)
E=- Anco [P-3 (p.r) r]
(9.47)
(9.49)
(9.50)
(9.51)
となる。
上の結果で, 電気双極子モーメントはz軸の方向を向いているとしてp=(1,0,0)とおけ
ば,z軸上 (r=(z, 0, 0)),y軸上 (r=(0, y, 0)) での電場を求めると, 例題 9-6の結果
が得られる.

微積分 電磁気 偏微分 電場 双極子モーメント

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

crane

(p･r)/r^3 を (p･r)とr^3の積ととらえ、積の微分法を使っています。

あ

なるほど、理解できました。ありがとうございました！