Question

ゲストあ

波Asin(ωt-kx)とAsin(ωt+kx)は重ね合わせで2cos(kx)sin(ωt)という波になると思いますが、ここで二つ質問があります。

1. 2cos(kx)sin(ωt)は、二つの三角関数の積ですが、位相(三角関数の中身)はωtと言われてるのはなぜですか？kxはなぜ違うのかわからないです。

2.波の位相速度を求める時、例えばAsin(ωt-kx)ならば、波の位相速度は、位相が同じところ(例えば山の位置)が動く速度だからωt-kx=Const.などとして、時間で一回微分することでdx/dt=ω/tとなりますが、定常波2cos(kx)sin(ωt)は同じようにしてdx/dt=0と導出できないのでしょうか？定量的に導出できる方法があれば教えてください。

長文失礼しましたお願いします。

波 重ね合わせ 定常波 位相 位相速度

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Crystal Clear

1.位相という言葉の使い方の問題だとは思います。
普通は1変数の周期関数において周期のどのあたりかを示す量として定義されます。また多くの場合は時間の関数で用いられるように思います。
Asin(ωt-kx)などは２変数関数ですが、2変数関数φ(t,x)=ωt-kxを1変数の周期関数Asinφに合成したという意味でφが位相と呼ばれることがあると思います。
2cos(kx)sin(ωt)は1変数の周期関数と捉えることはできなく、位相といっても何を指すのか判然としません。ただxを固定すれば、そのxで媒質が単振動しているのでその意味でωtを位相ということはあると思います。tを固定すればxの周期関数となるのでkxを位相ということも可能だとは思いますが、時間の周期関数としてよく使う用語なのであまり使わない表現になります。

2.位相速度という概念は、tを固定したときに見えるxの関数のグラフがtを変化させると平行移動しているように見えるようなf(x-vt)の形の2変数(多変数)関数に用いられます。
2cos(kx)sin(ωt)はそのような形でないので位相速度を考える対象ではないですが、tを固定したときに見える山がtを変化させてもその位置が変化しないことを数式で表したいなら、、、
各tでxの関数のグラフの山の一つに対応するのはkx=0。これを満たすxはtによって変化するかもしれないのでx(t)とすると
kx(t)=0
微分してx'(t)=0

ゲストあ

回答ありがとうございます。なるほど、そもそも言葉遣いや概念が対象としない数式にそれらを当てはめようとしていたからできなかったのですね。

ゲストあ

ちなみに確認なんですが、kx(t)=Const.でも平気ですかね？

Crystal Clear

もちろんです

ゲストあ

ありがとうございました