m
各)
8 2次関数の最大・最小/定義域が動く場合
a を実数とする. 定義域が α ≦x≦a +4 である関数f(x)=-x-4-6の最大値は α の関数で
あるので,これをM (α) と表す. 同じく, 最小値をm (a) と表す. M (α), m (α) を求め
b=M(a), b=m(α) のグラフを ab平面に (別々に)書け.
(名古屋学院大)
最大・最小となる候補を利用
前問は,定義域が一定区間に決まっていて、 関数の方が変化したが,
本間は、関数の方が決まっていて、定義域の方が動く問題である。とは言っても,前問と同様に解くこ
とができる.ここでは,前間と違うアプローチを紹介しよう。(なお,これらの解法は, 関数と定義域が
ともに変化するときも通用する。)
左ページの①~⑦のグラフから分かるように,y=d(xp)+gのグラフが下に凸の場合,
・区間α ≦x≦B における最小値は,
x=pが区間内にあれば, 頂点のy座標 q
そうでなければ,区間の端点での値f(α), f (B) のうちの小さい方
・区間α ≦x≦B における最大値は,区間の端点での値f(α), f (B) のうちの大きい方
である。結局,「最大値や最小値になる可能性のある点は,頂点と両端点の3つのみ｣であるから,
「頂点のy座標(頂点が区間内にあるとき), および区間の端点のy座標からなる3つのグラフを描い
ておき,最も高いところをたどったものが最大値のグラフ, 最も低いところをたどったものが最小
値のグラフである｣
これは, グラフが下に凸な場合のみならず, 上に凸な場合についても成り立つ.
解答
y=f(x)のグラフは上に凸である.f(z)=-(x+2)²−2(a≦x≦a+4)
であるから、頂点の座標がa≦x≦at4 にあるとき (as−2≦a+4),
6≦a≦2のとき, M(α)=f(-2)=-2
すなわち,
それ以外のとき,
M(α)=max{f(a), f(a+4)}
つぎに f(x) の最小値は定義域の端点で取るから,
m (a)=min{f(a), f(a+4)}
ここで, f(a)=-(a+2) 2-2
f(a+4)=-{(a+4)+2}2-2=-(α+6) ²-2
であるから, b= f(a), b=f(a+4) のグラフは図1のようになる.
よって, b=M(α), b=m(α) のグラフは, 図 2, 図3の太線である.
bto
図3
bto
図 2-6
-2
1 -6 -4 -20.
a
M.
-6
b=f(a+4) b=f(a)
b=-2
b=-(a+2)²—2
b=-(a+6)-2
a
-2
-6
-4
b=-(a+2)²X
-2
max {p,q}は,pg のうちの大
きい方 (小さくない方) の値を表
(1 < す (min{p,g}は,p,gのうち
の小さい方 (大きくない方) の値
を表す)
MAR
-6
←一般にb=f (a+4) のグラフは,
b=f(α)のグラフをα軸方向に
-4だけ平行移動したものである.
(p.32, 51)
MX-2-5
b=-(a+6)²-2
08
演習題(解答は p.57 )
(ア) f(x)=x2+2x+2a≦x≦a+1における最大値をM, 最小値をm とする。
| のとき最小値
M-m=1を満たすaの値は であり, M-mはa=
をとる。
2次関数のグラフ
ち書き、その交点!
(星城大 一部省略)
(イ)/ 関数f(x)=x2-2xla≦x≦a+1 (a≧0) における最大値g(α)を求めよ.
またg(α) を最小にする α を求めよ.
(明星大)
(ア) 7,08 のどちら
の解法で解いてもよい
ろう.
(イ) 最大値の候補を活
用しよう.
4
