中2数学「式の計算の利用」です。 (2)の解き方を教えてください。答えは2031または2013,2046,2077です。

中2数学「式の計算の利用」です。 (2)の解き方を教えてください。

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4年弱前

A=2000+10m+n
B=1000n+100m+2
(ただし、mは0以上9以下の整数、nは1以上9以下の整数)

① A＞Bのとき
A−B
=1998−90m−999n
=9(222−10m−111n)
=3²×(222−10m−111n)
このことから、(222−10m−111n)が平方数になれば良いから、これをM²(Mは自然数)と置くと、
222−10m−111n=M²
111(2−n)−10m=M²

n=1のとき
111−10m=M²となるので、M²は111より小さく、一の位が1。M²=9²=81のとき、m=3となり、A=2031。

n=2のとき
Mの条件を満たさない。

② B＞Aのとき
B−A
=90m+999n−1998
=3²×(10m+111n−222)
このことから、(10m+111n−222)が平方数になれば良いから、これをN²(Nは自然数)と置くと、
10m+111n−222=N²
10m+111(n−2)=N²
N²−10m=111(n−2)

n=2のとき
mの条件を満たさない。

n=3のとき
N²−10m=111だから、N²は111より大きく、一の位が1。N²=11²=121のとき、m=1となり、A=2013。

n=4のとき
N²−10m=222、一の位が2の平方数はない。

n=5のとき
N²−10m=333、一の位が3の平方数はない。

n=6のとき
N²−10m=444だから、N²は444より大きく、一の位が4。N²=22²=484のとき、m=4となり、A=2046。

n=7のとき
N²−10m=555だから、N²は555より大きく、一の位が5。N²=25²=625のとき、m=7となり、A=2077。

n=8のとき
N²−10m=666だから、N²は666より大きく、一の位が6。N²=26²=676のとき、m=1となり、A=2018。

n=9のとき
N²−10m=777、一の位が7の平方数はない。

よってAは、2013,2018,2031,2046,2077の5通り存在する。

だー 4年弱前

すみません説明不足でした。
平方数が何か分からないので、
平方数を使わずに説明をお願いします。

Clearnoteユーザー 4年弱前

「平方数」とは、この問題で言うところの「自然数の2乗」ということ。

だー 4年弱前

なぜAよりBが大きい場合とそうでない場合と決めるのですか？

だー 4年弱前

3²×(222−10m−111n)
このことから、(222−10m−111n)が平方数になれば良いから
となるのは何故ですか？

Clearnoteユーザー 4年弱前

>なぜAよりBが大きい場合とそうでない場合と決めるのですか？

中学の範囲では、2乗してマイナスになる数は扱わないから、大きい数から小さい数を引く必要がある。

> 3²×(222−10m−111n)
このことから、(222−10m−111n)が平方数になれば良いからとなるのは何故ですか？

平方数とは、素因数したときに出てくる数(素因数)の累乗が全て偶数で、それらを掛け合わせた数(積)のこと。
3²は平方数だから、(222−10m−111n)も平方数になる必要があるからM²と置いている。
(この問題では「良い自然」を1つ求めればいいので、222−10m−111n=M²、10m+111n−222=N²と置いている。)

だー 4年弱前

理解できました。
ありがとうございます。

Clearnoteユーザー 4年弱前

前の解き方には穴があったので、こちらの解き方でお願いします。返信は不要ですが、質問などがあればコメントにお願いします。

A=2000+10m+n
B=1000n+100m+2
(ただし、mは0以上9以下の整数、nは1以上9以下の整数)

① A＞Bのとき
A−B
=1998−90m−999n
=9(222−10m−111n)
=3²×(222−10m−111n)
このことから、(222−10m−111n)が平方数になれば良いから、これをM(Mは自然数の平方数)と置くと、
222−10m−111n=M
111(2−n)−10m=M
また、10mの取りうる範囲は、0≦10m≦90。

n=1のとき
M=111−10mとなるので、Mの一の位は1。
21≦M=111−10m≦111より、M=9²=81のとき、m=3となり、2031。

n=2のとき
−90≦M=−10m≦0となり条件を満たさない。

② B＞Aのとき
B−A
=90m+999n−1998
=3²×(10m+111n−222)
このことから、(10m+111n−222)が平方数になれば良いから、これをN(Nは自然数の平方数)と置くと、
10m+111n−222=N
N=111(n−2)+10m

n=2のとき
0≦N=10m≦90
この範囲にmの条件を満たすものはない。

n=3のとき
0≦N=111+10m≦201。Nは一の位が1。N=11²=121のとき、m=1。よって、2013。

n=4のとき
N=222+10m、Nの一の位は2だから、一の位が2の平方数はない。

n=5のとき
N=333+10m、Nの一の位は3だから、一の位が3の平方数はない。

n=6のとき
0≦N=444+10m≦534。Nは一の位が4。N=22²=484のとき、m=4。よって、2046。

n=7のとき
0≦N=555+10m≦645。Nは一の位が5。N=25²=625のとき、m=8。よって、2077。

n=8のとき
0≦N=666+10m≦756。Nは一の位が6。N=26²=676のとき、m=1。よって、2018。

n=9のとき
N=777+10m、Nの一の位は7だから、一の位が7の平方数はない。

よってAは、2013,2018,2031,2046,2077の5通り存在する。