Question

TKG

1番苦手な範囲で教科書と睨めっこしましたがさっぱり理解できませんでした。
解答がないので答えだけでも載せていただけないでしょうか…？

245.連星の運動闘 図のように、質量 m, の天体Aと,
質量 m,の天体Bが,同一平面内で2つの天体の重
心Oのまわりに等速円運動をする場合を考える。天
体A,B以外の天体からの力は無視でき, A, Bの
大きさは,軌道半径に比べて十分に小さく, 天体の
大きさの影響も無視できるとする。天体A, Bの軌
道半径をれ,2, 万有引力定数をGとする。次の文
)に入る適切な式を答えよ。
A
0
B
の(
重心0のまわりをまわる2つの天体の円運動の周
期Tは等しい。このTを用いると, 2つの天体の角速度ωは、 w=( ア )である。天
体AB間の万有引力の大きさFは, F=( イ )であり,天体A, Bはこの万有引力を向
心力として円運動をしている。ωを用いると, 天体Aに対して, F=m,X( ゥ)が、
天体Bに対して, F=m;X( エェ )が成立する。 AB間の距離をntrz=rとして, こ
れらの式を用いて, 2つの天体の質量の和 m,+maを, 角速度のと天体関の距離r, お
よびGを用いて表すと, m,+mz=( オ )が成り立つ。また, (ア)を利用して, 周期T
と天体間の距離r, およびGを用いて表すと, m:+ma=( カ )である。(オ)を用い
て,天体Aの円運動の速さ、をな,ど, G, mi, m, を用いて表すと, ひュ=( キ)とな
る。天体Bの円運動の速さについても, 同様の式を導くことができる。 したがって, 天
体の軌道の観測から,周期Tと天体間の距離ヶがわかると, (ア)から角速度のが, (カ)
から天体AとBの質量の和が計算できる。 さらに, 天体A, あるいは天体Bの速さがわ
かれば,天体A, およびBの軌道半径と質量も求めることができる。
(近畿大 改)

Answer 1

寒

円運動の周期: 一周するのにかかる時間。一周は角度で言うと360°または2π[rad]である。
角速度: 単位時間あたりに回転する角度。時間に対する角度の比。すなわち、角速度=角度/時間。
一周期(かかる時間はT)で一周(回転する角度は2π[rad])なので、
角速度ω=2π/T ⋯(ア)

万有引力の公式: 質量M,mで距離がrだけ離れている2物体間に働く力の大きさFは、
F=GMm/r²
この問題では、質量m₁,m₂で2物体間の距離はr₁+r₂であるから、
F=Gm₁m₂/(r₁+r₂)² ⋯(イ)

円運動の向心力の公式: 半径rの円運動をするとき、向心力Fは、角速度ωを用いて、
F=mrω²
で表される。
天体Aの質量はm₁, 円運動の半径はr₁であるから、
F=m₁×r₁ω² ⋯(ウ)
同様に天体Bについて、
F=m₂×r₂ω² ⋯(エ)

(イ)(ウ)(エ)を用いてm₁+m₂を求めるには多少の工夫が必要。
(ウ)と(エ)にそれぞれ(イ)を代入すると、
Gm₁m₂/r²=m₁r₁ω²
Gm₁m₂/r²=m₂r₂ω²
それぞれの両辺をm₁,m₂で割ると、
Gm₂/r²=r₁ω²
Gm₁/r²=r₂ω²
それぞれの両辺にr²/Gをかけて、
m₂=r₁ω²r²/G
m₁=r₂ω²r²/G
よって、
m₁+m₂=r₂ω²r²/G+r₁ω²r²/G
↓ω²r²/Gでくくる
=(r₂+r₁)r²ω²/G
↓r₁+r₂=rを代入
=r³ω²/G ⋯(オ)
↓ω=2π/Tを代入
=4π²r³/(GT²) ⋯(カ)

円運動の速度の公式: 半径をrで角速度ωの円運動をするとき、速度vは、
v=rω
となる。
よって、天体Aについて、
v₁=r₁ω
ここで、(オ)よりω=√{G(m₁+m₂)/r³}であるから、代入すると、
v₁=r₁√{G(m₁+m₂)/r³} ⋯(キ)

おそらくこんな感じだと思います。
何か間違いや質問があれば言ってください。