Question

つーさん

鉛直下向きが正なのになぜ鉛直下向きにはたらく重力による位置エネルギーがマイナスなのですか

152.弾性体のエネルギー■ 図のように,ばね定数kのばねの
上端を天井に固定し,下端に質量mの物体を取りつける。ばね
が自然の長さとなるように,板を用いて物体を支える。ばねが 目然の
自然の長さのときの物体の位置を原点として,鉛直下向きを正
とするx軸をとり,重力加速度の大きさをgとする。
(1) 板をゆっくりと下げ,物体からはなれるまでの間で, 物体」
が受ける垂直抗力の大きさNと位置×との関係をグラフで示せ。
(2)(1)の場合において, 板が物体からはなれるときの物体の位置xを求めよ。
(3) 板を急に取り去った場合,ばねの伸びが最大となるときの物体の位置xを求めよ。
(4)(3)の場合において, 物体の速さが最大になるときの物体の位置xと,そのときの
速さをそれぞれ求めよ。
ばね
長さ
物体
板
x
(拓殖大 改)
星動ネギータ最大
例題9
0000

152.弾性体のエネルギー
2mg
k
解答
(1)解説を参照(2)
mg
k
m
mg
(4)x=
リ=
k
)(1) 問題文の「ゆっく
りと下げ…」とは, 力が
つりあったままの状態で
板を下げることを意味す
指針(1)(2) 物体は重力, 弾性力,垂直抗力を受け, それらの力はつ
りあっている。物体の位置がxのときのつりあいの式を立てる。また,
板が物体からはなれるとき,垂直抗力が0となる。(3) 物体は重力,弾
性力の保存力だけから仕事をされ,その力学的エネルギーは保存される。
ばねの伸びが最大になるとき, 物体の速さは0となる。(4) 運動エネル
ギーをxの関数として式で表し, 速さぃの最大値を求める。
解説)(1) 物体の位置がxのとき,弾性力は鉛直
上向きに kx であり,物体が受ける力は図1のよう
に示される。カのつりあいから,
mg-kx-N=0
これから,Nとxとの関係を示すグラフは, 図2の
ようになる。
(2) 板が物体からはなれるときは, N=0 となる。
る。
NA
kx
mg
N
N=mg-kx …①
0
mg
k
図1
『mg
図2
図2のグラフから, N=0 となるxの値は,x=
mg
k.
(3) x=0 を重力による位置エネルギーの基準とし,板を急に取り去っ
た直後と,ばねの伸びが最大になったときとで, カ学的エネルギー保
存の法則の式を立てる。板を急に取り去った直後,運動エネルギー,
重力および弾性力による位置エネルギーは, いずれも0である。ばね
の伸びが最大になるときの物体の位置を x, とすると,その位置での
運動エネルギーは0,重力による位置エネルギーは -mgx,, 弾性力
E=0
E=0-mgx,+っkx?
1
図3
90
00000○

(3) 物体の力学的エネ
ルギーは,運動エネルギ
重力および弾性力に
よる位置エネルギーの和
である。
による位置エネルギーは kx? と表される(図3)。これから, 力学
2
的エネルギー保存の法則の式を立てると,
0=x,(kx,-2mg)
2mg
k
1
X,=0,
0=0-mgx,+ーkx?
2
x,=0 は板を取り去った位置なので, 解答に適さない。したがって,
2mg
X」=
k
の物体の位置がx,のと
き,重力による位置エネ
ルギーは -mgx2, 弾性
力による位置エネルギー
は kx?/2 となる。
(4) 速さが最大になるときの物体の位置を x。とする。板を取り去った
直後とで,力学的エネルギー保存の法則の式を立てると,
0=
2
-mv?-mgx2+kx?
2
m'g?
2k
1
2
1
-mv?=mgx2
2
-klx2-
2
-mv? の最大値を求
2
ニー
2
k
めるには,式ののように
平方完成をするとよい。
速さvが最大となるのは,式②が最大値となるときである。したがっ
1
m'g?
て,X2=
mg のとき,-mu は最大値
2k
となる。
k
2
m°g?
式ののx?を含む項の
1
m
-mv?=
2
リ=
求める速さvは,
2k
k
係数が負の符号をもつの
で、式のの左辺を縦軸,
2を横軸としたグラフ
を描くと,上に凸の放物
Check!! ばねで運動する物体の力学的エネルギー
ばねが水平方向に取りつけられていない場合は, 物体は高さの変化
する運動をするので, 弾性力による位置エネルギーだけでなく, 重
力による位置エネルギーも考えなければならない。
線となる。
第=章 工ネルギー