DNAの中にも遺伝情報を伝える所と伝えない所が存在します。
ヌクレオチドが連なったのがDNAで
DNAの中でも、遺伝情報を伝える領域の事を遺伝子と言います。
まとめると、遺伝情報を伝えない伝える部分を全て含めたのがDNA
遺伝情報を伝える部分を含めた領域のことを遺伝子と言います。
https://www.nhk.or.jp/kokokoza/tv/seibutsukiso/archive/resume009.html
こちらを見て頂くとかなり分かりやすいと思います。
写真もこのサイトから引っ張ってきました。