割ったときの余りを, 更にx-3x+2 すなわち(x-1)(x-2)で割ったに承りを考。
一習|整式 P(x)を(x-3)°で割った余りが2x-5であり, x-1で割った余りが5
基本 例題54 剰余の定理利
整式 P(x)をx+1で割ると余りが一2, *- 3x+2で割ると会。
重要
基本53
指針> 例題 53 と同様に, 割り算の等式 A=BQ+R を利用する。
を
め
指針>
問題の条件から,このa, b, cの値を決定しようと考える。
43次式で割った余り
次以下の整式または。
P(x)を(x+1)(x-1)(x-2) で割ったときの商をQ(x), 余り
をax'+bx+cとすると, 次の等式が成り立つ。
P(x)=(x+1)(x-1)(x-2)Q(x)+ax+bxtc………
ここで, P(x)をx+1 で割ると余りは -2であるから
解答
人分金館
AB=0を考えて
の
また, P(x)をx°-3x+2すなわち (x-1)(x-2) で割ったとき
の商をQ(x)とすると
P(-1)=-2·…
x=-1, 1, 2
I
を代入し,a, b, com
P(x)=( 1)(x- 2)Q(x)-3x+7
求める手掛かりを見っ
(1
3,
P(2)=1
4
ゆえに
P(1)=4
よって,Oとの~④より
a-b+c=-2, a+b+c=4, 4a+26+c=1
a=-2, b=3, c=3
-2x°+3x+3
(第2式)-(第1式)か。
26=6 すなわち s
この連立方程式を解くと
したがって、求める余りは
別解(上の解答の等式のまでは同じ]
x-3x+2=(x-1)(x-2)であるから,
(x+1)(x-1)(x-2)Q(x) はx°-3x+2で割り切れる。 O(*) ax*+bx+cを
PCx)をでるエー。
tl1ま3.2
を解くときに有効である。
この解法は,下の練習
-3メイク
ゆえに、 P(x)をx-3x+2 で割ったときの余りは,
ax+ bx+cをパー3x+2 で割ったときの余りと等しい。
P(x)をx-3x+2で割ると余りは -3x+7であるから
ax°+bx+c=a(x°-3x+2)-3x+7
x°-3x+2 で割ったとき
余りをR(x) とすると、
はaであるから
P(x)
=(x+1)(x-1)(x-200%
+a(x°-3x+2)+Ra)
=(x°-3x+2)
×{(x+1)Q(x)+a}+
両辺にx=-1を代入。
よって,等式のは,次のように表される。
P(x)=(x+1)(x-1) (x-2)Q(x)+a(x°→3x+2)-3x+7
したがって
P(-1)=6a+10
P(x)をx+1で割ると余りは -2であるから P(-1)=-2
ゆえに
6a+10=-2
よって
-2(x-3x+2)-3x+7=-2x°+3.x+3
求める余りは
a=-2
4るとき, P(x)を(x-1)(x-3)で割っ
