重要例題/9 方程式の共通解
のOOOO
2つの2次方程式 2.x°+kx+4=0, x*+x+k=0 がただ1つの共通の実数
解をもつように, 定数んの値を定め, その共通解を求めよ。
基本75
CHART OSOLUTION
方程式の解
x=α が解 =e を代入して方程式が成り立つ
2つの方程式の共通解を x3o とすると, それぞれの式に x=αを代入した
2°+ ka+4=0, α"+α+k=0 が成り立つ。 これを α, kについての連立方程式
とみて解く。実数解という条件に注意。
解答
共通解をx=α とすると
2g°+ka+4=0 … 0,
x=α を代入した①と
2の連立方程式を解く。
a+α+k=0
O-2×2 から (k-2)α+4-2k=0
(k-2)a-2(k-2)=0
(R-2)(α-2)=0
合の項を消す。
すなわち
よって
ゆえに
k=2 または α=2
合共通の実数解が存在する
ための必要条件であるか
[1] k=2 のとき
2つの方程式は, ともに x°+x+2=0 となる。
その判別式をDとすると
ら,逆を調べ十分条件で
あることを確かめる。
D=1?-4·1·2=-7
* ax°+ bx+c=0 の判別
式は D=6°-4ac
D<0 であり,実数解をもたないから, k=2 は適さない。
[2] α=2 のとき
2から
22+2+k=0
ゆえに
k=-6
このとき2つの方程式は
*2(x-1)(x-2)=0,
(x-2)(x+3)=0
2x?-6x+4=0 0',
x°+x-6=0
2の解は x=2, -3
となり,O' の解は x=1, 2
よって, 確かにただ1つの共通解 x=2 をもつ。
[1], [2] から
k=-6, 共通解は x=2
