Question

てすら

量子力学・不確定性関係についての問題です。
(6)が分かりません。(5)はhbar^2/8m(δx)^2と求めました。

II. 質量 m(> 0) の粒子の位置』,運動量pを表す演算子を,それぞれ,pとする。また,規格化
された状態)についての期待値を(z) = ()e|),(?) = (\) などと略記する.このとき,
粒子の位置eのゆらぎ 6= V(( - (e))?\$ と,運動量pのゆらぎ p= V{例(カ- (p))\)
の間には、
ん
6zóp >
2
という不確定性関係がある。
(4)() と Sは,実験的にはどのように求められる量か.すなわち,どういう実験をしたとき
に,その測定値からどのような式で求められる量か.
(5) 運動エネルギーの期待値
のとりうる最小値を,m, óa, h で表せ、
2m
(6) この粒子のハミルトニアンが,J,Kを正定数として,
K
1
自=-+?
2m
2
6
で与えられるとする。基底状態のエネルギーは許される状態のうちで最小であることと,
上記の不確定性関係を用いて,基底状態の波動関数の空間的広がりの大きさ 6gを見積もれ。

量子力学 不確定性原理

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Crystal Clear

エネルギー固有状態|ψ>について、両辺の期待値をとる。
この系のエネルギー固有状態はパリティ固有状態でもあるので、
<x>=<p>=0ゆえ
<x^2>=(δx)^2
<p^2>=(δp)^2
さらに
<x^6>≒(δx)^6
とすると(オーダーはあってそうってだけで全く論理的ではない)
これで(5)を使って(δx)だけの式にして最小になるようなδxを求める。

<x^6>≒(δx)^6はかなり乱暴だと思うけど、出てくる式がちゃんと手計算で解けることをみると、たぶん想定解。

てすら

手計算してみました。
なぜ系のエネルギー固有状態がパリティ固有状態のとき、<x>=<p>=0となるのでしょうか？

Crystal Clear

|ψ>がパリティ固有状態のとき
<x>=<ψ|x|ψ>
<p>=<ψ|p|ψ>
が0になる

ψ(x)が偶関数または奇関数だから
<x>=∫ψ^* x ψ dx
<p>=∫ψ^* (-i d/dx) ψ dx
の被積分関数が奇関数になる。

もしくは
パリティ演算子Pと位置演算子x,運動量演算子pには
PxP=-x
PpP=-p
(これをxが奇パリティ、pが奇パリティなどという)(証明は本質的に上と同じ)
<ψ|x|ψ>=<ψ|(±1)x(±1)|ψ>=<ψ|PxP|ψ>=-<ψ|x|ψ>
<ψ|p|ψ>=<ψ|(±1)p(±1)|ψ>=<ψ|PpP|ψ>=-<ψ|p|ψ>

より一般に、パリティ固有状態の奇パリティの演算子Oの期待値は0
<O>=<ψ|O|ψ>=0

てすら

丁寧な解説ありがとうございました。