✨ ベストアンサー ✨
条件が絶妙な問題で, 時間の限られた試験だとかなり難しいと思います.
[力業だと頂点CからABへ垂線を下ろして解くことも出来ます. しかし垂線の足Hが線分ADの上にあることを示すのが面倒です.]
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(2) (1)の相似△ABC∽△EBDが見えていれば, AC=12cmであることは分かります[たとえばBA:CA=BE:DEを計算すればいいです].
線分CDは△ABCの辺ABを内分する線分ですが, CA:CB=AD:DB=3:4なので∠Cの二等分線になっていることも分かります.
内角の二等分線の長さはCD^2=CA*CB-AD*DB[これは証明していると思います.]=16*12-6*8=144. すなわちCD=12[cm]であることがいえます.
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(3) 円Oに内接した△ACDに着目すると, CA=CDの二等分三角形であることも分かります. したがって中心OはCから辺ADへ下した垂線上にあります.
その足をHとすると, 三平方の定理からCH=√(12^2-3^2)=3√15[cm]です. 円の中心Oから辺ACへ下した垂線の足をIとするとAI=CI=6[cm]です.
△COIと△CAHを見ると, ∠Aを共有し, ∠H=∠I=∠Rなので△COI∽△CAHがいえます. したがってCO/CI=CA/CHで円の半径COは
CO=(CA/CH)*CI=(12/3√15)*6=8√15/5[cm]となります.
大変丁寧に教えてくださり、ありがとうございます！
おおまかですが、理解できました。
1つお尋ねしたいのですが、CD^2=CA*CB-AD*DBというのは、どういったことから、成り立つのでしょうか？
よろしければ教えてください🙇
これは証明を見て納得してもらいましょう. 図は自分で書いてくださいね.
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△ABCの外接円をOとします. また∠Aの二等分線とBCとの交点をD, 外接円Oとの交点をEとそれぞれ定めます.
このとき∠BAE=∠DAC, 円周角の定理から∠BEA=∠DCAです. したがって△AEB∽△ACDが成り立ちます.
これと点A,D,Eの共線条件からAB:AE=AD:AC⇔AB*AC=AD*AE=AD(AD+AE)=AD^2+AD*AEが導かれます.
一方, 方冪(べき)の定理から, AD*AE=BD*DCが成り立ちます.
これら2つの関係を合わせるとAB*AC=AD^2+BD*DC⇔AD^2=AB*AC-BD*DCがいえます.
[訂正]
これと点A,D,Eの共線条件からAB:AE=AD:AC⇔AB*AC=AD*AE=AD(AD+DE)=AD^2+AD*DEが導かれます.
一方, 方冪(べき)の定理から, AD*DE=BD*DCが成り立ちます.
なるほど、理解できました。
ありがとうございます🙇
[訂正]
△COIと△CAHを見ると, ∠Cを共有し, ∠H=∠I=∠Rなので