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nmol(一定)の状態変化を考える。
PV=nRT
P,V,Tが時刻tの関数で変化するとする。
まずlogをとって
logP+logV=lognR+logT
両辺tで微分して
(dP/dt)/P+(dV/dt)/V=(dT/dt)/T
実際はパラメーターは時刻t以外でも構わない。
このような場合dtを形式的に約分して
dP/P+dV/V=dT/T
と表し、適宜使うパラメーターでの微分に書き換える。
数学的には微分形式というもので正当化される。
logをとるのは少し技巧的なので
PV=nRT
な両辺を微分して
P'V+PV'=nRT'
左辺をPVで割って右辺をnRTで割って
P'/P+V'/V=T'/T
としてもよい。
この関係式は高校物理でも発展的内容として、例えばポアソンの式の導出のときに出てくる。
大学の熱力学の教科書にも載っていると思う。ただ、大学の熱力学は理想気体だけでなく一般の物体の熱力学を扱うので、あまり前面に出てこないかも。
ありがとうございます。どのようにして導出されるのかわからなかったのでとても助かりました。大学の参考書を書店でさがしても第一法則の微分形だけしか載っていないものばかりで、状態方程式の全微分はなかなか見つからなかったので困っていたのですが、これは高校の範囲の発展的な内容だったんですね。本当に助かりました