物理
大学生・専門学校生・社会人
解決済み
(3.4.27)の途中計算がわかりません、教えてください
例題3.6.
次の質点系の例を考えよう。
1
L
95 (9) ()
det(Aij) = det(gij) 3 0, rank(g:j) =D N-R
(3.4.21)
三
(3.4.22)
を考える。
このLは,変換
6g' = °(t)。(g), St=0
(3.4.23)
に対して,次の条件のもとで不変である.。が gi; のゼロ固有値ベクトル
9ij。 = 0
(3.4.24)
第3章 作用積分の不変性と保存則
39
で,かっ
0gii o+9ik 0g°
8gk
+ 9ki
Og
= 0
(3.4.25)
OV
Ogi。=0
(3.4.26)
を満たすとする。
実際にLがこの変換で不変ならば, (3.4.25), (3.4.26) が満たされることを示そう。
変換(3.4.23) によりLの変分は
10gij °
2 0gk
1095gg ogt + 9i;ず 66
OV
-ógke
Ogk
SL =
(O9idd
2(0gk
Ogij + 29ik
2(0gk
OV
Bgk)。+ 9f (e°% + e
dgk
ta0s
わ
OV
『e°
Ogk
+ 9g¢%
(3.4.27)
三
Oq
となる。6L = 0なるためには, 任意関数 e° とceの係数因子がそれぞれゼロでなけ
ればならないから恒等式
00。 -
+9jk 0¢
0gij + 9ik
2(0gk
00。
OV
1
三0
(3.4.28)
0g
dgk
および
95ず%=0
(3.4.29)
を得る。しかし,Vにはφがないので, (3.4.28) は分離して (3.4.25)と(3.4.26) を
待る、また,(3.4.29) から (3.4.24) が導かれる.(3.4.29) は (3.4.10) に相当する。
以上のことから理解できるように, 実際に運動方程式を解かなくとも, 作用積分,
ひいてはラグランジュ関数の性質から,その力学系に関する多くに情報を得ることが
できるのである。 特に保存則とラグランジュ関数の対称性は密接に関連している。
作用積分やラグランジュ関数の変換論はこれで打ち切り, 正準理論に移ろう。
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