Question

ペンローズ

(2.1.1)をどのように展開すれば(2.1.4)になるんでしょうか

2.1 ラグランジュ形式
解析力学の2つの形式,すなわちラグランジュ形式とハミルトン形式についてその
特徴を述べ,両者の関係を考察するのが本章の目的である).
まず,ラグランジュ形式から始める. ラグランジュ形式は独立変数として一般座標
g'を用いて記述されるが, ラグランジュ関数Lはgとずで表される。そして, 外的
拘束条件のない場合は, ラグランジュの運動方程式は前節で述べたように
d
OL
TO
= 0,(i=1~ N)
dt(0g
Og'
である。これは gi の時間に関する2回微分方程式であり, 一般には N個の独立な方
住式糸である.したがって, これらの方程式を解いて運動を求めるとき, 初期値 g' と
9の両方を指定して運動が一義的に決定される. すると, 力学系の状態を指定するの
は9とであるといえるから, g'とがとを変数とする空間を考えると都合がよい。
このような2N 次元空間を状態空間、あるいはハミルトン形式の位相空間(phase
*pace)と対応させて, 速度位相空間(velocity phase space)という。
そこで,速度位相空間の座標を(g',g) で表すことにする.は速度 に対応す
る変数であるが, gi は一応q' とは別ものとして扱い, q' の時間微分であるfと区別
注*)本章以下,ラグランジュ関数 Lおよびハミルトン関数H は時間を陽に含まないとする.時間に
顕わに依存する場合も, OL/0tの付加項が付くだけで, 以下の考察は本質的に変わりはない。
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する、したがって, g'によって配位空間のすべての点を表し,'によって速度空間の
点を表すものとする。 質点の現実の運動では, 各時刻ごとに g'の値と ={" の値と
か決まっているから,運動は速度位相空間内の 1本の曲線で表される。この曲線を速
度位相空間における運動の経路と呼ぶことにする。
そこで、ラグランジュ関数 L(o'、が)を速度位相空間で定義された関数 L(q',€") と
読み換えて,そこでのラグランジュ方程式を
(込)
L(q.€)
OL(q,5)-0.(i=1~N)
dgi
d
dt
と表そう、だが、この式だけではどと ぶの関係が与えられていないので,さらに
= ,(i=1~N)
を付け加える。これら(2.1.2) と(2.1.3) の 2N式を合わせると,ラグランジュ方程式
と同値になる。この方法は, 力学変数を2倍にして, 2回微分方程式を1回微分方程
式に直すハミルトン形式と似ている。
ラグランジュ方程式 (2.1.1) は位置座標空間(配位空間)では
0°L
Aijg +
0gi0g
OL
Ogi
0=
となる。ここでp の係数
°L
Aij (9,4) =
= Aji
ニ
dg0gi
はヘッシアン行列と呼ばれるもので, i, jについて対称である.このヘッシアン行列
は内的拘束条件の存在と密接に関わっている。
ラグランジュ方程式とこのヘッシアン行列を速度位相空間で表すと次のように

解析力学 ラグランジュ方程式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Crystal Clear

ラグランジアンやその微分にはq(t),q'(t)が合成されていて、全体ではtの関数になっていることに注意してtで微分してください。