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①浄土真宗
浄土真宗の祖である親鸞は、悪人こそが救われるという「悪人正機説」を唱えた。
②禅宗
栄西が開いた臨済宗、道元が開いた曹洞宗がある。(道元は、ひたすら座禅をする「只管打坐」を説いた。)
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戦乱や災害、病の流行などで世の中が乱れ、人々は仏に拠り所を求めた。(今でいうどうしようもなくなったときの神頼みみたいな感じでしょうか?)
また、鎌倉時代の新しい仏教の信仰方法は念仏を唱える、ひたすら座禅する、などの実行しやすくかつ簡単なもので、当時あまり教養を身につけていなかった一般民衆なども信仰しやすかった。(平安時代の仏教は主に教養のある貴族などの上流階級を中心に広まっていた。)
一部個人の意見になっているのであっているかはわかりませんが……これでどうでしょうか?
長文失礼しましたm(._.)m