質問者様のご質問の意図は、黒線の部分(ΔS)が、円周を表しているからおかしい、という事でしょうか？
ここで求めているΔSというのは、まず円を考えて、その円の内側に円を描きます。(半径r1とします。)次に半径r1+Δr1の円を描きます。この時の内側の2つの円に挟まれた領域の面積を求めているのです。
解説文の、幅rΔθで分割する、というところが少し分かりづらいのですが、上で説明した2つの円の間の距離がrΔθに相当します。
ここまで考えて、では2つの円に挟まれる領域(Dとします)の面積はどう求めるべきでしょうか？面積って、長さの2乗の次元を持っていますよね？なので、必要な要素は、2つの長さの次元を持った量です。候補としては、内側の円の円周、そして2つの円の間の距離です。イメージとしては、半径r1の広がりを持った線が、幅Δr1だけ動いているので、2つをかければ良さそうです。でもそれだと、r1を一定にしたまま動かしているので、だんだんと半径が大きくなっているのに矛盾しないの？という疑問があります。計算すると、
ΔS＝(円周)×(2つの円の間の距離)＝2πr1×Δr1
円周→rsinθ 距離→rΔθ 対応関係
になりますね、これは、半径が一定としてただかけただけです。Δr1がとても小さいので、一定としても誤差は小さいだろうという認識ですね。解説文ではこの後、Δr1→dr1として、積分しています。積分って、dr1＝lim(n→♾)(積分領域)/nってなっています。つまり、dr1って厳密に0ではないけど、ほとんど0なんです。こうしてしまえば、あとは足し合わせるだけですね。半径一定として単純に掛け合わせた式も、幅がほとんど0なら納得です。
まとめ
このような微少量Δからの積分への移行はよく使いますね。いろいろ問題を見ていくとすごいたくさん出てきます。
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