回答

(1)
これに関してはパッと見たときに「方べきの定理」というものを使えば一発だなと思いました。ただ一旦、ここは空気を読み、中学内容でやります。
円周角の定理から図に薄く●がされてあるところが等しいことはわかったんだと思います。これと対頂角(もしくはもう一回弧BCで円周角)から
△ACDと△PBDは相似です。
したがってAD:PD=CD:BD
AD=10 ×3/4=15/2
BD=10 ×1/4=5/2
よって比例式を解くと
PD×CD=75/4
また
PD:CD=3:2なので
求める長さ(PC全体)をxとおくと
PD=3x /5
CD=2x /5
よって6x²/25=75/4
x=25√2 /2です。

別解
方べきの定理より
15/2×5/2=3x /5 × 2x /5
x=x=25√2 /2
進学塾では習う内容なので知っていてもいいと思います。
一旦送ります

ブドウくん

方べきの定理
https://youtu.be/nQ8yQVLya_Q

ブドウくん

(2)
全く(1)と無関係な問題で、問題としてあまり面白みはないですが、大切な内容です。
面積比のまとめ(写真参照)のパターン2と3を使います。(相似比と面積比でやってもできそうですが、今から言う方法の方が早いと思います。)
△BCD=Sとします。
まず△CBDと△CADを考えます。
(図から、当然△CABはこれらの2つの三角形の和です。)
高さ共通なので底辺の比が面積比となるため
△CBD:△CAD=1:3
よって
△CBD:△CAB=1:4
すなわち△CBD=Sなので△CAB(上半分)は4Sです。

全体の四角形は下半分の△PABと上半分の△CAB(=4S)の和です。
△PABと△CABの比は底辺共通で高さの比になるので、高さの比を求めるために垂線を下ろして相似を考えたら2:3になります。
よって△CAB:△PAB=2:3
つまり△CAB:全体の四角形=2:5
よって4S×5/2=10Sが全体となります。
したがって10倍が答えです。
面積比で相似比の2乗は使えるのに、底辺の比や高さの比の方は使えないという人は多いと思います。丁寧に説明したために長くなりましたが、実際僕は
△BCD
=全体×(2/5) ×(1/4) =全体×1/10
上半分 」 三角形」
と10秒もかからずに求められました。慣れが差に繋がるところだと思うので、よく練習するといいと思います。

ブドウくん

この問題は方べきの定理を知っていて、かつ、よく面積比を練習していた人なら全体で1分くらいで終わったと思うので、解けずに考えた人とパッと解いた人でかなり差になったと思います。

よるはる

こんなにも丁寧に…!!本当にありがとうございます!!!
平行線での相似は得意なんですが、円周角で導く相似の問題がすごく苦手で、よく同じような問題でつまずいていたので、本当に助かりました😭

よるはる

方べきの定理、すごい便利ですね✨
これから活用しようと思います!
底辺とか高さの比も気をつけなきゃいけないですね…😰
参考にします!

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