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空間座標の反転ではどうして(2.16)と(2.17)が成り立つのでしょうか

@y/(の : の / | 2 りー PO 2.15) をうる- 2.14) と (2②.15) とを比較すると, 右手系 と左手系とでは, 右辺 の Lorentz の力の第2 項の符生に違いがある. この結論は他の成分についてもゃ同様 でぁる. したがって, Lorentz の力の作用のもとにおける京電荷の 運動方程式 は。 空間座標反転のもとで共変的でないと考えるかもしれない. しかし, 上の謙 論は (2.13) の仮定にや とづくもので, 電場については 婦(%/。のニー(*, の (2.16) でよいが, 磁場の変換性は (2.13) のかわりに (*/ の ー P(*,の 2.17 であたえられる. (2.16) と (2. 17) の変換性のもとでは, 運動方程式の *" 成分は 2 gy/ gs/ ーーの ー 6。(ダ(の 9+g ッ し(7の, の一 0 ぢし(7(の), j (2.18) となって, これは (2.14) とまったく同形である. (2.17) の型の変換をするベク トルを軸性ベクトル (axial vector) といい, (2.16) のよう な普通の変換をするべ クトルを極性ベクトル (polar vector) という. たとえば, 二つの極性ベクトルの ベクトル積は軸性ペクトルである. 磁場はペクトル場であるが, 普通のベクトル 場ではなくて, 軸性ベクトル場である・ 2②.16) と (2.17) の変換を用いるとすぐに, 左手系で も右手系のそれとまった く同形の Maxwell の方程式 2g(*/ 7 rot' 及(*。 の十 =0 の/(%/,7 sa 5 ro (W。 のーー uo00 diy の(*, のニの(@5 div7 (% の三 がなりたつことを示せる. この証明は読 人 先朋忠相」

回答

✨ ベストアンサー ✨

これは数式から導かれるというより、物理現象から要求される式の変換性というものでしょう.
本文では天下り的に与えられているが、これを正当化してみる.
EやBは電荷分布、電流分布と電荷の運動を結びつける数式上のものであるから、E,Bの変換性は当然それらと整合的でなければならない.

物体の運動r(t)を考える. 空間反転するというのは座標軸を反転させるだけ.
基底ベクトル(ex,ey,ez)を(ex',ey',ez')=(-ex,-ey,-ez)にするだけ.
よってベクトルrは不変(物体の運動はそれを記述するために便宜的に用いられる座標系に依らないのは当然)だが、その成分は基底の変換によって反転する. よってrは極性ベクトルである. [本文にあるようにベクトルの3成分をまとめたものが太字表記されていて、これの変換性が議論されている. ] よってその2階時間微分である加速度も極性ベクトル.
運動方程式からそれに作用する力も極性ベクトル. [運動方程式が共変的であることを認めているともいえるが、運動方程式が力の定義でもあると考えてもいい]
B=0のときを考えればEは極性ベクトルになる必要がある. 残りのv×Bも極性ベクトル. vが極性ベクトルだから、Bは軸性ベクトル.

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極性ベクトルと軸性ベクトルは空間回転SO(3)では同じ変換で区別できないが、反転O(3)も考えると変換性に違いがあることがわかる.
微分形式では、極性ベクトルは1次微分形式、軸性ベクトルは2次微分形式で表される.(が私は詳しくはない)

空間反転,電磁場,パリティ,軸性ベクトル
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