Question

ペンローズ

ネーターの定理から時間の並進対称性に対応するエネルギー保存則を導出しているのですが、時間変数の変換のところからよくわかりません
どなたか解説お願いします🙇‍♂️

4.5  La

人 陳内も> 。.  ー彼柏gに 9して  あるパラメータ 。で記

きれる変換 (⑮), 9(5) を考える。 だだし, s王0 において, (0) =g 9(0) =9が
っているものとする. ラグランジアテン (@,9) がこの変換に対して不変であ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

成立
る条件は
ar(g(5), 9(s)) _ 9Z(@(8), 9($)) 99(s) 、 9ル(9($), ($)) 99($)
誠      較前蘭較較83iiaE 9966)is 0の
であぁる. 特に s一0の極限を考えれば
_ 97(9.9 6g(s) のル(g, 9) 99($)
58間Iポ99 | 9s 1-。
_ 9 9ル79の のg(s)    所 97(g9,9) 9 99(3)
(のの語認の0  @3 し  ⑯?  〈⑦2 (2た)間計条
_ 9 / 97(@9) 99(⑤)
6 の2 和)        (4.5.2)
(4.5.2) 式より一般に
だ
な王乱        SO

が運動の積分としなる. これをネーターの定理と呼ぶ. 具体的に 個の自由質点系

計間の一様性 : エネルギー保存則
り外の記標変換しか考護していなかった- し
天が必要である. そこでまず. 時

4.5.3

(4.5.3) 式を導いたと きには, 時間
たがって時間の並進対称性を考えをるには, グ ルク
間変数ををつ7(の と変換して最小作用  上の原理を

55=5/ ィ( る     ws    r(* 9 (7 ) ーー0   (4.59)

のように書き直してみる. (4.5.9) 式の右辺の被積分関数を, と g/d7 をあらた
な独立変 変数として追加したラグランジアン :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)   gd      gdg/ 7     の
の210     の
(* 2  テ」 =   (。 の     (9
と解釈する. このとき, 座標をぇに関するラグランジュ方程式は
軸  0
の -二=9              (4.5.11

である. (4.5.10) 式を代人すると, (4.5.11) 式の第 1 項の括弧内は

ターの定理 |41
間Em のの 9 ea
9(@/97)        (@/みの)3 8(gg/) 万
陸     還29/97    コカ    6
d/み7        2 うー        (4.5.12)
(4.2.3) 式
となる、 一方(4.511) 式の第 2 項は
97′ 9と9 859-刀)み 9みw
の 6の      9の立み 。 のなケ        (4.5.13)
と変形できる.  この結果, (4.5.11) 式はハミルトニアン 互 だけで書き直
d(-万) 9万            7 9
=0             時
本旨 92が       の 生あ           (4512)

レたがっで, 万が陽に?に依存しない (9万/9z 0) ならば, 万すなわちエネル
ギーが運動の積分となる (gd万/ー 0) ことが示される.

上述の導出を見直せば, 時間変数r を導入して, ヵ47) を一般座標とみなして追
加じたラグランジアンア′ に対してーィ十s の並進対称性を課したことになって
いる』ごの場合, (4.5.3) 式に dg/み つみ/本, 9g/9s|。=o 一 W/gs|。=o を代入す
れば,

_ 9/(99) の(5)         NN             (4.5.15)

は          ュン
の(の/q7) ds 0

 

 

  
 
 
  
 
 
  
  
 
 

るはほはずだこうすればネーターの定理から, 時間の普進対称性に対応
在則も導くことができる.

諾系ルギー ・ 運動量・角運動量という普遍的な保存則は
2ものではなく, 時空間そのものの性質に起源を求め
隊ジうに値する美しい事実である. ニュートンの方穫

動量・ 角運動量の保存則は導けるわけであるが, そ
3 放0の下源が時空間がもつ対称性にあるとい草
ラグランジュ形式というより 一般的な定式化のおか

的構造を見抜くこ とができたのである.

解析力学 ネーターの定理

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Crystal Clear

作用積分において、被積分関数に含まれるtをt=t(τ)で置換して置換積分する。
例えばt=τ^3ならt(τ)=τ^3だし、t=τ+s(sは定数)ならt(τ)=τ+s。(4.5.9)と変形できる。
置換する前はL(q,dq/dt,t)のパラメタtによる積分
置換後はL´(q,dq/dτ,t,dt/dτ)のパラメタτによる積分
置換後のtを新たな座標と見なして変分原理を用いると(4.5.11)が得られる。

ペンローズ

最後の「tを新たな座標と見なして〜」から(4.5.11)が出てくるところがよくわからないです

Crystal Clear

分かりにくければt(τ)をq(n+1)(τ)と考えてください。(n+1個目の座標)
あとは単に汎関数の停留条件(汎関数微分)からオイラーラグランジュ方程式が得られるだけです。単に数学的に
δ∫L´(q,dq/dτ)dτ=0
から 任意の成分iに対して
(d/dτ)(∂L´/∂(dqi/dτ))=∂L´/∂qi
が出てくるだけです。
qのn+1番目の成分t(τ)に対する式が(4.5.11)です

ペンローズ

理解できました！