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まずは、正四面体ABCDに、半径rの球1個が内接している場合を考えます。
球の中心をIとすると、正四面体は、合同な4つの三角錐、I-ABC、I-ABD、I-ACD、I-BCD、に分けられます。
各三角錐は合同なので、体積は正四面体の1/4
そして、底面は共通なので、三角錐の高さは正四面体の高さの1/4
三角錐の高さは内接球の半径に等しいので、正四面体の高さは4r
正四面体の各頂点から内接球の中心までの距離は4r-r=3r
ここで、問題に戻りますね。
4個の球の中心を頂点とする立体も正四面体となります。
頂点Aに最も近い球の中心をO、
頂点Bに最も近い球の中心をP、
頂点Cに最も近い球の中心をQ、
頂点Dに最も近い球の中心をR、とします。
線分AOは、先ほど書いた通り、3rとなります。
底面BCDと底面PQRの距離は、球の半径に等しいので、r
よって、
四面体ABCDの高さ=3r+四面体OPQRの高さ+r=四面体OPQRの高さ+4r
ここで、一辺がaの正四面体の高さを考えます。
一辺がaの正三角形の高さは√3a/2
三角形の重心は中線を2:1に内分するので、頂点から重心までの距離は√3a/2×2/3=√3a/3=a/√3
三平方の定理より、一辺がaの正四面体の高さは
√(a^2-a^2/3)=√(2a^2/3)=√2a/√3=√6a/3
四面体ABCDは一辺が6なので、高さは、6√6/3
四面体OPQRは一辺が2rなので、高さは、2√6r/3
これより
6√6/3=2√6r/3+4r
3√6=√6r+6r
(√6+6)r=3√6
(6+√6)(6-√6)r=3√6(6-√6)
(36-6)r=18√6-18
30r=18√6-18
r=(18√6-18)/30=(3√6-3)/5
となって、
答え:(3√6-3)/5
となりますね。
わかりにくいですが、何回か読めばわかると思いますので頑張ってください(^ ^)
ありがとうございますm(_ _)m理解するのに時間はかかりましたがなんとかできましたm(_ _)m本当にありがとうございますm(_ _)m